(grad В\

период вращения, определяемый формулой (10) разд. 2.2.1.

Рассмотрим отдельно различные виды возмущений, которые могут представлять интерес. За исключением простых примеров, обсуждаемых в разд. 2.3.1 и 2.3.2, ограничим наше рассмотрение нерелятивистским случаем v<c.

2.3.1. Переменное магнитное поле

В соответствии с уравнением Максвелла в этом случае индуцируется электрическое поле Е;

rotE

с dt

Электрическое поле, структура которого зависит от граничных условий, действует двояким образом. С одной стороны, оно изменяет энергию частицы. Этот вопрос рассмотрен в данном разделе. С другой стороны, оно приводит к дрейфу, рассмотрение которого проводится методом, развитым в разд. 2.2.

Обращаясь к общему случаю, когда частица может иметь релятивистскую скорость, запишем изменение энергии за один оборот в следующем виде:

А \F = Д (утс2) = - ф Е S

яр2 е

дВ dt

поскольку

о Erfs

rot ErfS

(5) (6)

- поток через поверхность, ограниченную круговой орбитой частицы. [Знак минус в формуле (4) означает, что положительная частица вращается в направлении, противоположном направлению обхода контура при интегрировании.] Поскольку число оборотов в секунду равно среднее значение производной энергии по времени

4,{утс). (7)

Используя выражения (4), (8) и (10) разд. 2.2.1, получаем из (7)

d (ут) v\ дВ

2 Pi

2утсВ df

поскольку бетатронное ускорение (7) влияет только на перпендикулярную составляющую импульса р. Если справедливо равенство dBjdt = dBldt (поле меняется только во времени), формулы (8) и (9) дают

4-с. (10)

сравнение с формулой (12) разд. 2.2.1 показывает, что постоянная интегрирования С пропорциональна магнитному потоку ф через плоскость орбиты. В нерелятивистском пределе выражение (10) можно записать в виде

где W i-кинетическая энергия, обусловленная движением перпендикулярно силовым линиям. В этом случае магнитный момент JLI [см. формулу (11) разд. 2.2.1], а также поток постоянны.

Постоянная величина pjB является одним из трех адиабатических инвариантов движения заряженной частицы. Эти инварианты будут рассмотрены ниже (разд. 2.3.7).

2.3.2. Градиент магнитного поля имеет составляюш,ую в направлении поля

Введем декартову систему координат так, чтобы в начале координат ось z была направлена параллельно магнитному полю. Тогда dB/dzO, Рассмотрим небольшую область размерами порядка р в окрестности начала координат и перейдем к цилиндрической системе координат {R, ф, г), сохранив направление оси Z. уравнение

div В = 0 (12)

(при условии дВ/д(р~0) дает

(/?fi) + = 0, (13)

где Вц, 5г и - составляющие напряженности поля В. Можно считать, что

дВ дВ ,

- const

Дифференцирование выражения (2) разд. 2.2.1 дает

d (ут) 1 dp 1

dt ~ 2утс IF ~ 2утс2 ~dt~

внутри круга радиуса R = p. Предположив, что дВц/дц) = 0, мы тем самым по сундеству пренебрегаем градиентом в направлении, перпендикулярном полю (этот вопрос рассматривается в разд. 2.3.3), и уравнение (13) аюжно проинтегрировать

1 г>

2 17

(14)

Если частица двилется со скоростью в плоскости R, ф на расстоянии R = f) от оси г, то на нее действует средняя сила

\ е\Vj дВ

с 1 t<

(15)

в направлении оси г. При помощи формул (1) и (8) разд. 2.2.1 уравнение (15) можно преобразовать следующим образом:

(16)

2утВ dz

В процессе движения частицы вдоль оси z составляющая ее импульса меняется со скоростью

(17)

II em

Если действуют только магнитные силы, то энергия, равная

{mV + (/?2 + p2)c

.4 1

остается постоянной, и, следовательно.

dt Р\\ dt Pr Уравнение (17) моясно записать в виде

dt 2

(18)

(19)

Подставляя в уравнение (19) выражения (16) и (18), получим

1 dp

1 dB

В dt

(20)

где производная dldt означает скорость изменения вследствие движения центра вращения вдоль магнитных силовых линий. Из уравнения (20) следует

\ В j

(21)