Дифференцируя это выражение и используя соотношения (38) разд. 2.2.3 и (65), находим

dt ~ l dt 1

Если теперь подставить выражение для из формулы (39) разд. 2.3.4, то получим

-u,(f-f П.

Bx(f+t +f))(f+n

(66)

или, поскольку {В X (Ai + Аз)) Ai = -(В X Ai) Аз,

Bx(f+iOH -

(67)

Принимая во внимание соотношение Р : - - (lFyB)gradB, из формул (64) и (67) получае

pgrad В

dB в (68)

Выражение (68) показывает, что отношение WjfB остается постоянным.

Величина jl (в релятивистском случае Р\1Щ является

адиабатическим инвариантом (см., например, [7]). Это означает, что ее изменения, связанные с заданными изменениями поля В, могут быть сделаны сколь угодно малыми, если поле В изменять достаточно медленно в пространстве и во времени. Критерий медленного изменения можно установить, выбрав соответствующий параметр (обозначим его б), который в случае магнитного момента по существу представляет максимальное относительное изменение поля В за один период вращения.

Анализ возмущений высших порядков показал, что существует более общий инвариант (сводящийся в первом порядке к инварианту i), который адиабатичен по отношению ко всем порядкам б. Этот результат относится к асимптотическому разложению и не означает, что магнитный момент точно постоянен. Он означает только, что отклонение от инвариантности очень быстро стремится к нулю, если стремится к нулю параметр б. Обзор теории инвариантности высоких порядков можно найти, например, в работе Крускала [8].

. Продольный инвариант. Механизм Ферми. Теперь рассмотрим чисто механическую задачу. Предположим, что частица движется со скоростью (импульс ~mv вдоль оси z некоторой системы кооодинат, а в точках z = имеются две

4 Зак. 763

Поскольку соударения происходят через интервал времени A/ = D/y, средняя скорость изменения импульса частицы равна

-J± = L, (70)

dt М D

Ho 2U = -dD/dt и mtJ=p, и мы получаем

dp, dD

откуда следует, что

/7 О = const. (71)

Это означает, что, если отражающие плоскости сближаются и, следовательно, расстояние D уменьшается, скорость частицы возрастает.

Движение частицы между медленно сближающимися плоскостями является простейшим частным случаем движения в медленно меняющейся потенциальной ЯА1е. Из классической механики хорошо известно, что при таком движении величина

является адиабатическим инвариантом (см. [7, 10]). Соотношение (71) представляет собой частный :лучай выражения (72).

Перейдем теперь к рассмотрению заряженных частиц в магнитных полях. Если заряженная частица удерживается между двумя магнитными зеркалами, движение ее ведущего центра вдоль силовых линий аналогично движению частицы в потенциальной яме (это было показано в разд. 2.3.6), и существует инвариант, соответствующий выражению (72), а именно:

muds, (73)

где скорость и элемент пути ds теперь относятся к продольному движению ведущего центра. Величина, определяемая фор-

идеально отражающие плоскости, перпендикулярные оси z и движущиеся со скоростями q:t/(<CtJj,). Когда частица сталкивается с плоскостью, происходит упругое соударение. При каждом соударении импульс частицы меняется на величину

t.p=2mU. (69)

Этот результат справедлив и для релятивистского случая, если иод т мы будем подразумевать релятивистскую массу частицы

мулой (73), называется продольным инвариантом (см., например, [11]). Если справедливо выражение (58), то (73) можно записать в виде

sina

(74)

а если действуют только магнитные силы, при помощи формул (59) и (60) получаем

5, .

Продольная инвариантность требует медленного изменения магнитного поля. Это означает, что поле не должно изменяться значительно в течение одного периода продольных колебаний Г, т. е.

<С1-

(76)

Поскольку TjTg, это условие медленного изменения поля намного более жесткое, нежели условия (1) - (3) разд. 2.3.

Применим продольный инвариант к следующему простому случаю. Пусть магнитное поле однородно (В = Во) в пределах от -Zo до ~\-Zo. При z>~\-zo поле на оси симметрии равно

B = Bo + b{z-Zo),

При г<-Zq поле симметрично. Предположим, что .

г?го Во. (77)

Частица вращается по винтовой линии вокруг оси симметрии и отражается от двух зеркал, которые в силу (77) расположены Б непосредственной близости от точек + и -Zq. Пренебрегая небольшим вкладом в интеграл (75), который дают области 2>го и г<-го, находим

(78)

Предположим теперь, что зеркала очень медленно приближаются друг к другу, так что через некоторое время они занимают положение ±г. Поскольку / является инвариантом, то

P,=P

(79)