Формулы (8) - (И) приводят к выражению

dX dt

2\ха

тЛ cos A,(l-fЗsin А,)

il/2

(12)

Учитывая соотношения (4), (9), (10) и формулы (8) и (12) разд. 1.2, преобразуем (5) следующим образом:

14-sinU

2т1о -Л

erl cosA(l + 3sin2A)3/2 t)

(13)

Теперь можно рассчитать траекторию центра вращения, или эквивалентного магнита (см. стр. 232). Подставляя штёрмеровскую единицу длины

,2cm\ir\o)

и (13) разд. 1.2, находим

Ф -Фо

/, = 3

г cosU (1 + sin Л) 2>

(14)

(15)

(150

Ге-расстояние от диполя до точек, в которых частица (точнее, эквивалентный магнит ) пересекает экваториальную плоскость (=0); (1) определяется из соотношения (13) разд. 1.2, а rio - постоянная [см. (10)].

Параметр связан с константой Штёрмера у* Д-я экваториальной плоскости условие (11) разд. 2.4 можно записать в виде

1 <

J± R

(16)

Поскольку величина R изменяется в пределах от г+р до -р, мы имеем {re<Cst)

г. I

-St

р { г.

\ Si

(17)

(17)

Интеграл 1\ графически изображен на рис. 2.8. Уравнение (15) дает траекторию эквивалентного магнита . Траектория частицы представляет винтовую линию, навиваю-

щуюся на кривую, определяемую уравнением (15). Винтовая линия имеет радиус, определяемый (8) разд. 2.2.1. В большинстве случаев, к которым применим наш метод возмущений, уравнение (15) дает всю необходимую информацию о движении частицы.

Рис. 2.8. Связь между сме1цением по долготе (пропорциональным /i) и смещением по широте Я для частицы, совершающей колебания амплитуды относительно экваториальной плоскости.

Движение, описываемое уравнениями (12), (13) и (15), происходит вдоль траекторий, лежащих на поверхности, определяемой формулой (8) разд. 1.2. Оно представляет собой колебания относительно экваториальной плоскости Х = 0, на которые накладывается вращение вокруг оси диполя. Амплитуда колебаний определяется условием т)о-т)0. Значение % в токе

поворота дается формулой

(l+3sin2 Я,о)1/2

cos X,

(18)

На рис.. 2.9 для сравнения показаны одна из траекторий, полученных Штёрмером [34] путем интегрирования, и соответствующая кривая, рассчитанная по методу возмущений [35].

Рис. 2.9. Движение в поле диполя, рассчитанное методом Штёрмера и по методу возмущений. Вверху- проекция на плоскость, проходящую через ось диполя. Внизу - проекция на экваториальную плоскость. Сплошная линия - траектория эквивалентного магнита; пунктирная линия - траектория частицы по Штёрмеру.

2.5.3. Движение вблизи экваториальной плоскости поля диполя

Особый интерес представляет частный случай, когда амплитуда колебаний мала {X-l). Тогда мы имеем приближенно

(i +3sinU)

cos я

l4-4,5?i2,

(19)