И аналогично ilo = l+4,5X. Подставляя эти величины в (12)

и выполняя интегрирование, получим гармоническое колебание

/ / \

(20)

2п I тг

,5 \ V2

2я г.

(21)

В том же самом приближении ф увеличивается с постоянной скоростью

it--t,)==vit-~t,). (22)

За период Т угол ф возрастает на величину

(23)

где Cst определяется формулой (5) разд. 2.4. Для малых амплитуд 0{cst/re) составляет л]Л2 =4,44, что соответствует углу 225°. Пунктирная линия на рис. 2.8 дает разность долгот точки поворота и точки пересечения орбиты с экваториальной плоскостью. Для эти величины равны я)Л2=1,11, что соответствует 63,6°.

2.5.4.

Теперь мы вычислим параметры rio, Ге и Sst- Предположим, что частица массы т выходит из точки {г\ %\ ф) со скоростью {у[, vy v. В таком случае имеем

f = (l+3sin2 Vf,

2v[ sin X- vl cos %!

(t;;cos>. + 2vJ sinX)

Ti=(cosV) f,

2 ,2

тг (t; cos л zv-sXnX j -\~ф v

(24)

(25)

(26) (27)

(28)

г = /(cosr)-

St

ае J \ \ тс ,

(29) (30)

(31)

Частица совершает винтообразное движение по окружности радиуса р, движение которой было рассмотрено выше. Радиус р равен

(32)

2.5.5

Чтобы показать связь между уравнениями Штёрмера и методом возмундений, выведем уравнение (22) методом последовательных приближений, который применим, если - 1- Положим

/<0 - ~ - Y

(33)

Следовательно, R<\.

Поскольку в экваториальной плоскости г = 0, из уравнения (9) разд. 2.4 получаем

{ dR \2 ds I

cst-

(34)

Разложим R в ряд и отбросим члены высокого порядка малости

Тогда имеем

R-Rcst (5) + т (5)

(где штрихи обозначают производную d\ds) и

(35) (36)

(37)

Решение уравнения (34) в первом приближении можно получить из уравнения

Щр\АРГ=\-Р\ (38)

которое дает

F = sin5. (39)

Чтобы найти второе приближение, подставим решение (39) в соотношения (35) - (37). Из уравнения (34) находим

{ + ЩО) = 1 - (/= 2 + 2RIF0) (1 ~ 4ЩР). (41) Учитывая (39), получим

0 = 4 -2sln2 5. (42)

Таким образом, (35) принимает вид

= ost {l + /?in5 + /?(4 -2sin2 5)

(43)

где членами порядка в выражении, стоящем в скобках,

мы пренебрегли.

Если использовать формулу (33), то из уравнения (6) разд. 2.4 получим

= ( + WO-3o = 7?-V{ + o(4-5sin2 5)

(44)

Здесь мы пренебрегаем членами порядка Ro- Окончательно получаем

sin 5 + ;?о(4 -5sin5)

(45)

Это уравнение определяет движение частицы. Среднее от производной d(p/ds дает движение эквивалентного диполя. Поскольку среднее значение sin 5 равно нулю, а среднее значение

sin2S = V2. мы получаем с точностью до величин порядка Ro

(46)

Полученное выражение идентично уравнению (22):

3c\i

(47)