записать в виде

mdV=\ ;-i-ndS)+\-bi.osMS). (14)

Первый член в правой части равенства - магнитное давление, равное В/8л1, а второй член - магнитное натяжение, равное по величине B/Anii и направленное вдоль силовых линий (см. рис. 3.4).

3.4. Плоские волны в несжимаемой жидкости. Однородное магнитное поле

Чтобы продемонстрировать основные свойства гидромагнитных волн, рассмотрим простой случай плоских волн в несжимаемой жидкости с постоянной плотностью р. Тогда имеем

divv==0. (1)

Предположим далее, что начальное магнитное поле Во однородно и параллельно оси z прямоугольной системы координат и что сила pG отсутствует. Допустим, что током смещения (dD/dt)/4п можно пренебречь по сравнению с током проводимости i.

Магнитное поле представим в виде

B==Bo-fb, (2)

где Ь - поле, созданное током i. Чтобы исследовать плоскую волну, распространяющуюся в направлении Во, предположим, что все векторы зависят только от координаты z и времени / и не зависят от х ц у.

В силу соотношений (1) и (3) разд. 3.3 отсюда следует, что -О, а B2 = const = Bo. Далее, согласно условию (1), мы можем положить v = 0.

Если систему координат повернуть так, чтобы iy - 0, то из формулы (1) и (4) разд. 3.3 получим

с дЬу

iy =-= iz = О, (4)

6 = const = 0, = Bq.

Подставим эти значения в уравнение (6) разд. 3.3. Поскольку в соответствии с яашими предположениями grad р не может

иметь составляющих, перпендикулярных оси г, мы получаем

= 0, dt

Во db

const =0,

и далее

dp dz

4яр dz 8Kfi dz

Уравнение (5) разд. 3.3 дает

E=l.-

или, с использованием (4) и (5),

Уравнение (2) разд. 3.3 дает

db..

Из формул (7) и (8) получаем

d4..

D У

dt 0 dt dz о dt dz Подставляя сюда выражения (3) и (5), получаем

4яр dz Ащю dz dt

Если отказаться от требования, чтобы все векторы были независимы от X, то можно показать, что уравнение (9) принимает несколько более общий вид

4яр dz 4яло dt уЭг

(9aJ

3.4.1, Бесконечная проводимость

В случае о = оо мы получаем простое уравнение

d\ В1 d\ dt

4яцр dz

(96)

даже если by произвольным образом зависит от х. Выражение (96) представляет собой волновое уравнение, которое описывает волны, распространяющиеся со скоростью

V=±

(10)

Гидромагнитная (альвеновская) скорость не зависит ни от частоты, ни от амплитуды. Ее значения для некоторых представляющих интерес объектов приведены в табл. 3.2.

Решение волнового уравнения (96) имеет вид

А sin t

где амплитуда А может быть произвольной функцией х, а со - угловая частота. Тогда из уравнений (5), (3), (8) и (6) следует

= - {4n\xp)~Asin(x)(t-

Л coscol

Е = - (4пцр)- Л sin со

Р = Ро

Лsinco (

(12)

(13) (14) (15)

8ял \ V

(рис. 3.5 и 3.6). Поскольку плотность магнитной энергии волны

составляет 6/8л1, а плотность кинетической энергии 9112, то из выражений (11) и (12) видно, что имеет место равнораспределение между кинетической и магнитной энергиями.

В результате наложения поля b на Во магнитные силовые линии, которые в отсутствие гидромагнитных волн представляли собой прямые

x = Xq, У = Уо, (16)

искривляются. Поскольку тангенс угла для силовых линий в произвольной точке определяется выражением

dy b b.

dz ~ В ~ Во

ТО, подставляя (11) в формулу (17) и производя интегрирование, находим, что силовые линии представляют собой синусоидальные кривые, описываемые уравнениями

(18)

У = Уо

со (4л;лр)/2

COS со

(19)