Продифференцировав у по времени, находим, что производная равна скорости среды (12). Этот факт означает, что в определенном смысле магнитные силовые линии движутся с той же скоростью, что и жидкость. Поэтому часто говорят, что силовые линии вморожены в жидкость. Однако это всего лишь образное сравнение и этим термином следует пользоваться с осторожностью.

Рис. 3.5. Индуцирова1тое магнитное поле by. скорость Vy,

ток ix и давление р сииусои-дальной волны как функция времени.

Магнитные силовые линии

о © о ®

Рис. З.б. Индуцированное магнитное поле by, скорость Vy, ток как

функции координаты z в определенный момент времени. Показана также силовая линия результирующего магнитного поля + Ь.

Следует заметить, что волновому уравнению (96) удовлетворяют решения типа

19а)

где / и g - произвольные функции. Уравнение (19а) показывает, что возмундение произвольной формы распространяется параллельно вектору В со скоростью У, даваемой выражением (10). Этого следовало ожидать, поскольку все элементарные волны типа (11) распространяются с одной и той же скоростью, а волна произвольной формы может быть получена путем их сложения. Однако в сжимаемых средах существуют гидромагнитные волны других типов, которые могут переносить возмущения поперек магнитного поля (см. разд. 3.8).

3.4.2. Конечная проводимость

Предположим, что проводимость а имеет конечную величину, а векторы b и v, как и прежде, параллельны оси у. Предположим далее, что b и v являются функциями только z и t. Запишем их в комплексном виде

й = . (20)

= ще \ (21)

где j = Y-1 , а 0, &о и Уо-постоянные, причем все, за исключением со, могут быть комплексными числами.

Поскольку dydt=-(i), dydz==-k\ dldzt=-j(x)k, то из уравнений (9) и (10) получаем

k=±

+ (22)

(23)

Расстояние Zq, на котором амплитуда волны уменьшается в lie раз, равно обратной величине мнимой части ft. Таким образом, имеем

8даК 2ixaV foB, аВ1

или в случае слабого затухания приближенно

/ со усо2с2 \

где Я = 2л1 со - длина волны. Выражение (25) приближенно выполняется при 1<Zq, Итак, мы можем написать

причем

-z/z.Joi (t-z/V)

(26) (27)

(28)

Последнее выражение получается при ломощи формул (5), (20) и (21).

Мнимая часть дает фазовый сдвиг скорости v по отношению к возмущению магнитного поля Ь, Мы можем также написать

V = IQ-/V® (-г/К)-Уф (29)

- глубина обычного скин-слоя.

3,4.3. Гидромагнитные волны как колебания силовых линий

Простую картину движения гидромагнитных волн можно получить, сравнивая магнитные силовые линии с упругими струнами. Поскольку в определенном смысле силовые линии движутся вместе со средой, их можно рассматривать как струны, имеющие массу, равную массе жидкости, приходящейся на одну силовую линию. Согласно разд. 3.3.1, действующими силами являются изотропное давление В2/8лр которое не оказывает влияния на поперечные колебания несжимаемой среды, и натяжение В4яр, направленное вдоль силовых линий. Для обычной струны поперечные колебания в направлении оси у описываются уравнением

где 5 играет роль натяжения струны, а т - масса на единицу длины (см., например, [7]). Тогда скорость волны

(-1) (33)

Если мы хотим использовать эти результаты для рассмотрения колебаний магнитных силовых линий, то S нужно заменить натяжением на единицу площади, которое, согласно формуле (14) разд. 3.3, равно

где при малых X/Zq

< = -Ч7 (30)

Ф = Р (31)

Заметим, что в предельном случае низкой проводимости уравнение (22) переходит в дисперсионное соотношение, характеризующее скин-эффект в твердотельных проводниках