ТО выражения для амплитуд (54) и (55) принимают вид

= V2? V2 (58)

Рг Г Pi

Р2 -Г Pi

При отражении от твердой проводящей границы скорость приобретает фазовый сдвиг 180° (относительно падающей волны), а индуцированное магнитное поле сдвига фазы не имеет. [В этом можно убедиться, если в выражении (59) положить р2 - оо и воспользоваться формулами (44), (46) и уравнением (б) разд. 3.4 [15].] При отражении от свободной поверхности, наоборот, сдвиг фазы на 180° наблюдается у магнитного поля, а у скорости сдвига фазы нет.

Рассмотрим теперь случай, когда р, а следовательно, и У изменяются непрерывно вдоль магнитной силовой линии. Если это изменение достаточно медленное (т. е. grad р1/р<с1Д, где % - длина волны), то отражение незначительно. (Аналогичный результат получается в теории световых или звуковых волн.)

В этом случае изменение Ьу и Vy можно найти следующим простым путем. Проведем достаточно большое количество параллельных плоскостей, отстоящих друг от друга на малом расстоянии Аг, и заменим непрерывное распределение плотности таким, при котором она меняется скачком на величину Ар = ~ {dpidz) Az на каждой плоскости. На каждой такой плоскости амплитуда прошедшей волны изменяется на величину АЛ. Из формулы (58) находим, что

АЛ 2(р4-Др) 1

А ~ (р4-Др)1/2р1/2 - 4р

Следовательно,

= constpi/4. (60)

Поскольку А представляет собой амплитуду by, а Vy пропорциональна fev/p [с- формулу (12) разд. 3.4.1], то мы имеем

*, = constp (61)

= const p-V4. (62)

Этот результат можно также получить из условия сохранения энергии, поскольку в том случае, когда выполняется условие grad р I /р <С 1Д, существенной потери энергии при отражении не происходит.

3.5. Волны произвольной формы в несжимаемой жидкости

До сих пор мы рассматривали только некоторые частные случаи с тем, чтобы составить представление о волновом движении. Теперь мы перейдем к более обндему рассмотрению, которое впервые провел Вален [12, 13].

Как и прежде, пренебрежем током смендения. Предположим также, что магнитная проницаемость \х постоянна. Из уравнений (2) и (5) разд. 3.3 исключим Е и подставим полученное выражение в (1) разд. 3.3. Принимая во внимание, что вследствие соотношения (3) разд. 3.3 тождество

rot (rot В) = - AB + grad (div В)

сводится к выражению rot (rot В) =-ЛВ, получаем

rot(vXB)

4ща dt

Подставляя уравнение (1) разд. 3.3 в (6) разд. 3.3, находим . ... 1 . , , 1

(vgrad) V

4л;лр

BXrotB = G

grad/7.

Магнитное поле

В = В.

слагается из начального поля Во, которое задано и создается внешними токами, так что

rot Во = О, (4)

и индуцированного поля Ь, которое создается токами, вызванными возмущением. Наша задача состоит в том, чтобы из выражений (I) и (2) найти скорость v и поле Ь.

Общее решение связано с большими математическими трудностями. Вален получил решение для случая несжимаемой жидкости плотности р, находяиейся в однородном магнитном поле Во [12, 13]. В этом случае имеем

div V = grad Bq

Тогда тождества rot (V X В) = (В grad) v - (v grad) В

(5) (6)

Bdivv + vdivB,

(v grad) V В X rot В

gradxj - V X rotv, grad 52 (B grad) В

МОЖНО записать в виде

rot (V X В) = ((Во + Ь) grad} v - (v grad) В,

(vgrad) V = grad-v - v X rot v

(7) (8)

В X rot В == Bo X rot b + b X rot b =

= grad (Bob) - (Bo grad) b + b X rot b. (9;

Полагая

0 = gradt/, (10)

нолучлсм из уравнения (1)

(Bo grad) v-- a из уравнения (2)

(vgrad) V

Bo X rot b

bXrotb + grad и

0, (12)

3(Bograd)b-J = bXrotb-vXrotv

grad

pp2 \ 2 j

4Ttp

(Bob) . (13)

3.5.1. Бесконечная проводимость

Если a-со, то можно найти точное решение уравнений (И) и (13). Пусть

v=-(14)

Поскольку

1 2

(Bob)

(4яцр)/2

(Во + Ь)-5;

(15)

4л 8яц

член в правой части уравнения (13), представляющий собой градиент, равен нулю, если

P + 9U

(Во 4-Ь)2 = const,

(16)

а это означает, что сумма гидростатического и магнитостатического давлений /) + 578лр = - р(/.

Тогда уравнения (И) и (13) сводятся к

(Bograd)b = (4лxp).