колебаний зависит от структуры тела, а для данной структуры существует набор частот, соответствующих различным модам колебаний. Приравняв длину волны Х=2яУ/о) линейным размерам тела /с, можно оценить порядок величины частоты самой длинноволновой моды. Получим

где Вс и рс - характерные значения напряженности магнитного поля и массовой плотности.

Основную частоту можно также оценить из энергетических соображений. Рассмотрим шар, заполненный жидкостью с бесконечной проводимостью, находящийся в однородном магнитном ноле Во.

Предположим [15], что шар слегка деформируют (рис. 3.8) так, что он принимает форму удлиненного сфероида с полуосями

Рис. 3.8. Гидромагнитные колебания сферы. Слева - силовые линии первоначального поля и линии тока (пунктирные кривые), справа - деформированное состояние (по Лундквисту [15]).

R(\-\-a) и 11 - 2 1 затем предоставляют возможность свободно колебаться. Избыточная магнитная энергия, соответствующая максимальной деформации, равна

2 d2 d3

а DnR

магн

Если предположить, что колебания являются гармоническими и характеризуются угловой частотой о, то к моменту времени, когда тело снова принимает форму шара и, следовательно, избыточная магнитная энергия обращается в нуль, кинетическая энергия равна

Приравнивая Умагн и Ик получим

что согласуется с нашими предварительными оценками по порядку величины [см. формулу (1)].

Впервые анализ гидромагнитных колебаний шара провел Шварцшильд [20], чтобы объяснить поведение магнитопеременных звезд. Однако в этом случае необходимо учитывать гравитационную восстанавливающую силу [21, 22]. Для несжимаемого шара, обладающего собственным гравитационным полем,

получен результат [23]

о 32 5 д2

==-TYP+i.

где у - гравитационная постоянная. Как указал Каулинг [22], гравитационная восстанавливающая сила настолько велика, что те весьма низкие частоты, которые были получены из наблюдения магнитных звезд, можно объяснить только существованием специальных мод, характеризуемых почти горизонтальным движением.

Наблюдаемые изменения магнитных звезд часто очень неправильны и связаны с изменением полярности. Вряд ли, их можно объяснить гидромагнитными колебаниями. Другое возможное объяснение - теория наклонного ротатора - также сталкивается с определенными трудностями. Рассматриваемому вопросу посвящены работы [24-26].

3.8. Гидромагнитные волны в сжимаемой среде. Магнитозвуковые волны

Мы ограничимся рассмотрением плоских гармонических волн малой амплитуды и проанализируем детально случай бесконечной проводимости.

Предположение о малости амплитуды позволяет отбросить малые члены в основных уравнениях разд. 3.3, и уравнения станут линейными. Эти уравнения упростятся еще больше в случае плоских волн. Соответствующие выкладки приводятся в разд. 3.8.1. В разд. 3.8.2 выводятся дисперсионные соотношения, при помощи которых можно описать распространение волн.

3.8.1. Линеаризация и упрощение основных уравнений Полное магнитное поле

В = Во + Ь (1)

Представляет собой суперпозицию невозмущенного поля Во и индуцированного поля Ь, которое обусловлено волновым движением. Соответствующая плотность равна

р. (2)

9 = Ро

а давление

где ро и Ро - постоянные. Из предположения о малости амплитуды следует, что b<tBo, р<ро и p<pQ. Величины Е, v и i для невозмущенного состояния равны нулю. Пренебрегая, как и раньше, током смещения, из основных уравнений разд. 3.3 получим

4я : (4)

rotb

rotE

div b

j 0,

XBo XBo

Ж p yp

Po Po

grad;

Podiv V,

(5) (6) (7)

(9) (10)

Заметим, что в формуле (8) член pG отсутствует, поскольку в невозмущенном состоянии poG - gradpo = 0.

В случае плоских гармонических волн любую изменяющуюся величину можно представить в виде

f = fo ехр У {(Ot - kxX - куу - kzz)], (11)

где л:, J/ и г -декартовы координаты, j - Y-1; или

f = foexp(y( -kr)}, (12)

где k, ky 2 - постоянные. Легко убедиться в том, что операции дифференцирования можно представить следующим образом:

-- = усо, (13)

gracl=-ук, div = -ук-, (14)

rot =-у-кХ- .