Подставляя решение для плоской волны в линеаризованные основные уравнения, получим следующую систему алгебраических уравнений:

Выражения (11) и (12) соответствуют плоской волне с волновым числом k. Волновой вектор к перпендикулярен поверхностям постоянной фазы.

Поверхности постоянной фазы перемещаются с фазовой скоростью

или в векторной форме

(22)

(22а)

Волну произвольной формы можно получить путем суперпозиции элементарных плоских волн вида (12). Различные парциальные волны, из которых состоит волновой пакет , могут двигаться с различными фазовыми скоростями, а сам волновой пакет движется с групповой скоростью, которая определяется соотношением

шг d(j> да) дф

(23)

где X, у и Z - единичные векторы в направлениях осей х, у и z (см. [27]). Групповая скорость определяет скорость распространения данного возмущения.

Для вычисления Уф и Vrp необходимо знать связь между частотой со и волновым вектором к. Эта связь определяется дисперсионным соотношением, которое мы получим из системы уравнений (15) -(21).

yCOpoV

(к X Ь) X Во

JPoS

(kv) к.

Затем для b получаем выражение

к X (V X Во)

кХ(кХЬ),

(24)

(25)

которое следует из формул (15), (16) и (18). Поскольку

kX(kXb) = k(kb) -А;2Ь и в соответствии с (17) кЬ = 0, соотношение (25) приводится

;с2А2 \ 1

К виду

к X (V X Во).

(26)

Наконец, комбинируя (24) и (26), получим довольно громоздкое выражение:

ycopoV

(kv)k

4я ую

4яа(о

BoX{kX[kX(vXBo)]

Дважды используя векторное тождество

aX(bXc) = b(ac)-c(ab),

мы можем переписать его в виде [28]

I 4jti

/=(о2ро j V

[ \4яц

4jtu (В к)

BoJ(kv)

где множитель

4яцаа)

(BoV)k = 0, (27)

(28)

стремится к 1, если а = оо. Далее мы ограничимся случаем бесконечной проводимости, так что в выражении (27) F~\.

Для различных мод колебаний из уравнения (27) мы получим различные дисперсионные соотношения. Удобно рассмотреть отдельно колебательную моду, соответствующую случаю,

3.8.2. Дисперсионное соотношение и моды распространения

Чтобы вывести дисперсионное соотношение, исключим из уравнений (15) - (21) все переменные, кроме v. Прежде всего исключим ! и /? из уравнения (19) при помонди соотношений (15), (20) и (21):

когда скорость v перпендикулярна векторам к и Во (рис. 3.9), и случаи, когда v компланарна с векторами к и Во (рис. 3.10).

Случай 1. V перпендикулярна к Во (рис. 3.9). (Поперечные волны с движением среды перпендикулярно Во.)

Рис. 3.9. Направления векторов Во, к и V в случае поперечной волны.

Рис. 3.10. Направления векторов Во, к н V и углы Ф и -ф, когда скорость компланарна с векторами и к.

Поскольку в этом случае (kv) =0 и Bov = 0, то дисперсионное соотношение (27) при условии f=l принимает простой вид

(29)

Поскольку (Вок) = ВоCOSф (см. рис. 3.9), фазовая скорость в соответствии с формулой (22) равна

Ф k

Ксрзф,

(30)

(4яцро)>/2

(31)

гидромагнитная скорость.

Вычисляя групповую скорость по формуле (23), получим со-

отношение

(32)

которое означает, что возмущение распространяется параллельно магнитному полю Во со скоростью, равной обычной гидромагнитной скорости. Таким образом, мы получили обычную гидромагнитную волну типа, рассмотренного в разд. 3.4.1. Подобного результата следовало ожидать, потому что скорость v перпендикулярна к, так что в соответствии с формулой (20) флуктуация плотности обращается в нуль (б линейном приближении),