Ь (1)

Поскольку для существования четко выраженных гидромагнитных волн требуется, чтобы затухание было мало, неравенство (1) является критерием применимости магнитной гидродинамики к волновому движению.

Критерий (1) справедлив также для волн в сжимаемой среде. Это видно из соотношений (27) и (28) разд. 3.8.2, если

положить k = 2nlX, о)/ = 5о/у4ярр и иметь в виду, что затухание слабее или сильнее в зависимости от величины мнимой части множителя F.

Таким образом, отбрасывая несущественные численные множители, мы можем записать критерий существования ясно выраженных гидромагнитных волн в виде неравенства

Безразмерный параметр

впервые был введен Лундквистом [15].

Перейдем теперь от рассмотрения частного случая волнового движения к общему случаю:

При помощи уравнения (1) разд. 3.5

о(ХВ) + ДВ- = 0. (4)

со скоростью звука; это обычная звуковая волна. Табл. 3.1 показывает также, что существуют продольные волны (ф=0), рас-

пространяющиеся со скоростью [V ~f-Cs) перпендикулярно магнитному полю. Это магнитозвуковые волны (в узком смысле слова). При помощи формул (23) и (43) нетрудно показать, что не только фазовая, но и групповая скорость этих волн направ-

лена перпендикулярно вектору В [и равна (V H-cJ ], так что эти волны способны переносить возмущение поперек магнитного поля.

3.9. Критерии применимости магнитной гидродинамики

Уравнение (25) разд. 3.4 определяет расстояние Zq, которое проходит слабо затухающая гидромагнитная волна, прежде чем ее амплитуда уменьшится в е раз. Это расстояние значительно больше длины волны, если

го у}оВоХ

которое получено путем исключения электрического поля из основных уравнений (1), (2), (5) разд. 3.3, можно выявить один важный аспект взаимосвязи между магнитным полем и движением вещества. Чтобы определить относительный вклад различных членов этого уравнения, используем оценки

rot (V X В)

(5а) (56)

где Ус и /с - характерные величины скорости, магнитного поля и линейных размеров изучаемого явления. Подобный метод оценки членов дифференциальных уравнений заменой дифференцирования по координатам умножением на величины, обратные характерным длинам, оказывается весьма полезным и часто используется на практике. Но это, очевидно, очень грубый метод, и в отдельных случаях им следует пользоваться с большой осторожностью.

Из уравнений (4), (5а) и (56) следует, что при малых значениях магнитного числа Рейнолъдса

первый член уравнения (4) пренебрежимо мал по сравнению со вторым [46]. В таком случае формула (4) приводится к уравнению диффузии

= (7)

где коэффициент диффузии дается выражением

4яго *

Это означает, что движение вещества не оказывает существенного влияния на магнитное поле.

Если велико по сравнению с единицей, то можно пренебречь вторым членом и получим уравнение

rot (VX В)-4 = о, (9)

ИЗ которого следует, что магнитный поток через любой контур, связанный с движущимся веществом, остается постоянным. В этом можно легко убедиться, если записать скорость изменения потока через движущийся контур (рис. 3.12) в следующем

виде:

йФ dt

Г дЪ dt

ds + d)(vXds)B

~rot(vxB)dSO. (10)

Таким образом, условие

соответствует случаю, когда магнитные силовые линии переносятся движундейся жидкостью и могут рассматриваться как

вмороженные . Однако его нельзя считать критерием применимости магнитной гидродинамики. Например, это условие может выполняться для жидкости, обладающей высокой проводимостью, но магнитное поле в которой настолько слабо, что оно не влияет на движение. Такая жидкость ведет себя в соответствии с законами обычной гидродинамики. Магнитная гидродинамика применима в том случае, когда в жидкости присутствует достаточно сильное магнитное поле. Обозначим его через Во; Вс - характерное значение его напряженности. В среде, движущейся со скоростью V, индуцируется магнитное поле Ь; таким образом, полное поле будет Bo-fb. Условие малости второго члена в уравнении (4) записывается тогда в виде

Рис. 3.12. Изменения магнитного потока через движущийся контур.

(12а)

Тогда первый и последний члены равны; это означает, что

ВсУс

(126)

Для гидромагнитных явлений в уравнении движения (6) разд. 3.3 существенную роль играет член, содержащий магнитное поле. Это означает, что он сравним с инерционным членом. Таким образом (принимая во внимание, что ток i связан с наведенным полем Ь), получаем

9V, ЬсВ, j2b)

Из уравнений (126) и (12в) следует, что

be = /4лрр.