Главная >  Природа электромагнитных процессов 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 [ 40 ] 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

3.11. Установившееся движение проводящих жидкостей 127

3.11.1. Анизотропия, вносимая магнитным полем. Эксперименты

Поведение проводящей жидкости сильно изменится, если ее поместить в магнитное поле. Это легко продемонстрировать экспериментально [46]. Например, ртуть в отсутствие магнитных полей по консистенции напоминает воду, в том смысле, что ее встряхивание приводит к мелкомасштабному беспорядочному движению и появлению на поверхности мелкой подвижной ряби. 6 сильном магнитном поле ртуть подобна сиропу. Теперь встряхивание вызывает только большие вихри, причем оси таких вихрей параллельны магнитному полю, а поверхность стремится остаться гладкой. Тенденция вихрей выстраиваться параллельно магнитному полю является проявлением анизотропии, создаваемой полем. Любое движение стремится стать однородным вдоль магнитного поля, или, иными словами, стать двумерным. Это хорошо иллюстрируется другим экспериментом, поставленным Ленертом [50]. Схема его прибора приведена на рис. 3.15, а. На дне плоского медного сосуда, наполненного ртутью и помещенного в вертикальное магнитное поле, враш,ается медный диск. Было обнаружено, что при включении сильного магнитного поля ртуть увлекается диском (см. рис. 3.15,6 и 3.15, б). Это явление совершенно аналогично одному из явлений обычной гидродинамики. 6 соответствии с теорией Тейлора - Праудмана, движение во вращающейся жидкости стремится стать однородным вдоль линий, параллельных осн вращения (см., например, [49]). Это одна из нескольких аналогий между магнитным полем и полем вихревого движения. (Вращение твердого тела соответствует однородному полю вихревого движения.)

3.11.2. Закон изоротации Ферраро

В описанных опытах проводимость была весьма низкой. 6 астрофизических явлениях проводимость часто можно считать бесконечной. 6 таком случае тенденцию движения к постоянству вдоль силовой линии можно выразить точно в виде некоторой общей теоремы.

6 соответствии с общими уравнениями разд. 3.3 имеем

rotB.= ii, (1)

div в = о, (3)

4 = E+(i]xB. (4)



Поскольку В стационарном случае djdtQ, то из уравнений (1) - (4) следует

rot(vXB)

4я}Л

rot(- rotBl.

Если проводимость бесконечна или, точнее, если

где /с и Vc - характерные длина и скорость (см. разд. 3.9), то правая часть уравнения (5) обращается в нуль, так что

rot(vXB)=0. (7)

Выберем цилиндрическую систему координат (координаты г, ф, г

и единичные векторы г, ф, z; рис. 3.16) так, чтобы ось совпадала

с осью вращения жидкости. Тот факт, что движение является чисто вращательным - но не обязательно вращением твердого тела, - можно выразить соотношением


<А)Гф,

Рис. 3.16. Система координат, используемая при доказательстве теоремы Ферраро.

где (О - функция координат гиг. (Независимость 0) от ф является следствием условия стационарности.) Магнитное поле В может иметь компоненты но всем трем координатам

в = + + В,г, (9)

однако мы потребуем вращательной симметрии, что означает

Нз рис. 3.16 следует, что

(10)

V X в г {В,г - В2).

Применяя операцию rot к уравнению (11) и используя условие (10), получим

rot (V X В) = ф { 7 {гВ,) + -г (о)г5,) [.



3.11. Установившееся движение проводящих жидкостей

Поскольку doijdqi = О, можно переписать это соотношение в виде

rot(vXB)

ф I гсо

1 д

г дг

(гВг)

1 дВ

да) дг

dz В

\ да)

Ф г (ф

да) \ dz ,

или в более компактной форме

rot (v X В) = ф {гсо div В -- г (В grad) со

Тогда из уравнений (3) и (7) следует

(Bgrad)co = 0.

(12)

(13)

Это означает, что производная со в направлении магнитного поля равна нулю. Иными словами, в случае установившегося движения угловая скорость постоянна вдоль силовых линий магнитного поля.

Закон, выражаемый формулой (13), называется закономизо-ротации, или теоремой Ферраро.

Известно, что обширный класс звезд имеет сильные магнитные поля; более слабые магнитные поля существуют у нашего Солнца (а возможно, также у большинства остальных звезд). Таким образом, важность доказанной теоремы для физики звезд является очевидной. Теорема имеет также большое значение при изучении движений межзвездной среды, находящейся в магнитном поле звезд. Поскольку предположение о высокой проводимости является весьма существенным, теорема непосредственно применима только в том случае, если плотность настолько велика, что имеет смысл говорить о проводимости (плазма средней и высокой плотности, см. разд. 5.1). Ее можно применять также и к плазме низкой плотности, однако в подобных случаях ее справедливость следует тщательно проверять. Возможно, что Солнце при своем вращении увлекает определенную внутреннюю область межпланетного пространства [51]. Это может заметным образом влиять на вариации интенсивности космического излучения (см., например, [52, 53]). Эффект увлечения плазмы вращением Солнца мог сыграть решающую роль в процессе формирования нашей планетной системы [54-56].

Установление изоротации между магнитной звездой и окружающей ее плазмой требует передачи углового момента центральным телом плазме. Передача углового момента может осуществляться посредством магнитного поля, и таким образом вращающаяся звезда может потерять значительную часть своего углового момента. Это обстоятельство, возможно, объясняет



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 [ 40 ] 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84