где pG - силы немагнитного происхождения.

Исключая 1 из уравнений (1) и (3), мы получаем магнито-гидростатпическое уравнение

pG - grad + -jip (rot В) X В - 0. (4)

Если мы распишем член, соответствующий магнитным силам, так же, как в разд. 3.3.1, то получим

рО - grad - grad + = 0. (5)

8яц 4n\i

Следует различать два типа магнитогидростатического равновесия:

1) Магнитные силы уравновешены силами немагнитного происхождения (тяготение, газокинетическое давление и т. д.).

2) Магнитная сила и результирующая немагнитных сил равны нулю. В этом случае магнитное поле является бессиловым [59, 60],

Первый случай может иметь место в некоторых космических объектах. В книге Каулинга Магнитная гидродинамика [61]

медленное вращение некоторых звезд, в том числе и нашего Солнца. Согласно Тер Хаару [57], достаточное торможение способны создать только электромагнитные процессы. Люст и Шлютер [51] проанализировали перенос углового момента магнитными полями. По их оценкам, для почти полного торможения вращения звезды потребуется несколько миллионов лет.

Эксперименты по масштабному моделированию совместного вращения очень трудны, поскольку линейные размеры и проводимость, достижимые в лабораторных условиях, малы. Но несмотря на то, что точное моделирование космической плазмы невозможно (см. разд. 4.2.2.), в лабораторных условиях можно поставить качественные эксперименты по наблюдению явления совместного вращения в проводящей жидкости [58],

3.12. Магнитная гидростатика

В условиях установившегося равновесия бесконечно проводящей среды v=0, dldt==0, 1/а=0, и поэтому основные уравнения разд. 3.3 принимают вид

rotB = i, (1)

div В = 0. (2)

pG - grad /?+ (±) X В = О, (3)

3.12. Магнитная гидростатика 131

рассматриваются проблемы равновесия в солнечных пятнах, протуберанцах и спиральных ветвях галактик.

Второй тип равновесия также играет важную роль в космической физике. Бессиловое равновесие может возникнуть в том случае, когда сила тяготения и газокинетическое давление соответствуют плотностям энергии, значительно меньшим, чем плотность энергии магнитного поля. Кроме того, в достаточно разреженной плазме, где частота столкновений значительно меньше ларморовской частоты, электрический ток стремится течь параллельно магнитному полю, так что магнитные силы исчезают (см. разд. 5.5.3).

Мы ограничимся лишь некоторыми замечаниями, касающимися второго случая - бёссиловых магнитных полей. Такие поля рассматриваются в разд. 5.5.3. Читателям, интересующимся другими типами магнитогидростатического равновесия, следует обратиться к обзорам Каулинга [61] и Данжи [62].

3.12.1. Бессиловые магнитные поля

Равенство нулю магнитной силы означает, что

(rot В) X В = 0. (6)

(Всюду предполагается, что p = const.) Условие (6) выполняется, если

го1В = аВ, (7)

где а - произвольная скалярная функция, которая должна удовлетворять единственному условию

(grad а) В = 0. (8)

Это условие получается, если применить к уравнению (7) операцию div и принять во внимание, что div В=0.

В качестве примера можно рассмотреть случай цилиндрической симметрии при условии a = const, который был проанализирован Лундквистом [59]. Компоненты уравнения (7) имеют вид

--()

±{гВ) = аВ,. (10)

Исключая Ву получим уравнение

I д ( дВЛ

г

г дг \ дг j

о?В, = 0. (11)

решением которого является функция Бесселя нулевого порядка

B.AJiar). (12)

где А - произвольная постоянная. Теперь из уравнения (9) можно найти

B = AJ,{ar). (13)

Структура магнитного поля показана на рис. 3.17.

Впоследствии в разд. 5.5.3 в связи с приложениями к космической плазме мы рассмотрим частный случай бессилового поля, которое не соответствует a = const, но тем не менее имеет определенное сходство с полем, представленным уравнениями (12) и (13).

Общее вращательно-симметричное решение уравнения (7) с постоянной а было получено Люстом и Шлютером [60]. Как

показал Чандрасекар [63, 64], его можно выразить при помощи функций Ге-генбауэра. Показано также, что для любого данного тороидального магнитного поля можно найти такое по-лоидальное поле*, что их суперпозиция будет бессиловой; и наоборот, если дано полоидальное поле, то всегда найдется тороидальное поле, которое приведет к бессиловой суперпозиции. Общее решение без ограничений постоянной а было получено Шлютером 65] для случая цилиндрической симметрии (при условии д/дгО).

Может возникнуть вопрос, остается ли магнитное поле бессиловым, если его напряженность уменьшается вследствие конечной электрической проводимости. Этот вопрос был рассмотрен Лундквистом [59], который показал, что магнитное поле остается бессиловым при обязательном условии, что а [определяемая уравнением (7)] является постоянной.

Спадание магнитогидростатического поля подчиняется урав-

Р и с. 3.17. Бессиловое магнитное поле бесконечного цилиндра (по Лундквисту [59]).

нению диффузии

rot rot В

4яр.а

(14)

* В цилиндрической системе координат магнитное поле, которое всюду перпендикулярно плоскостям, проходящим через ось (меридиональным плоскостям), называется тороидальным, а магнитное поле, силовые линии которого лежат всюду в меридиональных плоскостях, называется полоидальным.