которое вытекает из формул (1), (2) и (5) разд. 3.3 при условии dDldt = 0. Используя условие (7) и векторное тождество rot(aB) = а rot В-f (grad а) X В, находим для бессилового поля

= -lS{ B + (grada)xB). (15)

Из уравнения (15) непосредственно следует, что для того чтобы магнитное поле спадало без искажения картины силовых линий, а должно быть постоянно. Действительно, условие отсутствия искажений означает, что производная дВ/dt не должна иметь составляющей, перпендикулярной В. Тогда из уравнения (15) следует, что векторное произведение (grad ее) X В, которое перпендикулярно В, должно равняться нулю. Это возможно только, если grad а не имеет составляющей, перпендикулярной В. А поскольку вследствие условия (8) grad а не может иметь составляющей, параллельной В, то это означает, что

а = const. (16)

Теперь уравнение (15) принимает вид

dt ~ 4тс{1а

т. е. спадание магнитного поля подчиняется экспоненциальному закону с константой времени, пропорциональной о/а.

Согласно Чандрасекару и Вольтье [66], бессиловые поля с постоянной а принадлежат к числу конфигураций поля с минимальными омическими потерями при заданной магнитной энергии. Для замкнутых магнитожидкостных систем с бесконечной проводимостью (магнитный поток сохраняется) Вольтье [67, 68] установил, что бессиловые поля с постоянной а являются конфигурациями с минимальной магнитной энергией.

3.13. Тидромагнитная устойчивость

Магнитогидростатическое равновесие называется устойчивым или неустойчивым в зависимости от того, как система реагирует на малое возмущение. Если любое малое возмущение вызывает восстанавливающие силы, которые возвращают систему в состояние равновесия, система является устойчивой. Если же существует хотя бы одно такое возмущение, что под действием вызванных им сил система, предоставленная самой себе, все более и более отклоняется от равновесной конфигурации, то эта система неустойчива.

Простейший пример неустойчивой конфигурации - система, состоящая из двух жидкостей различной плотности, причем

я 4яр-

(см., например, [49]), где Я - длина волны ряби. (Отметим, что магнитное поле, перпендикулярное границе раздела, оказывает стабилизирующее действие лишь на скорость нарастания коротковолновых возмущений.)

Магнитное поле может удерживать проводящую жидкость в поле тяготения. В этом случае удерживающая сила обусловлена токами на границе раздела, взаимодействующими с магнитным полем. Граница раздела является неустойчивой [69]. Такая неустойчивость обычно называется неустойчивостью Крус-кала - Шварцшильда и аналогична неустойчивости Тейлора.

Другим простым примером является конфигурация типа пинч , т. е. плазменный шнур с аксиальным током и азимутальным магнитным полем, обусловленным этим током. Магнитная сила, которая направлена по радиусу внутрь, уравновеши-рается градиентом давления. Для простоты предположим, что

плотная жидкость налита поверх жидкости с меньшей плотностью. Граница раздела жидкостей горизонтальна, сила тяжести (или поле инерционных сил) направлена вниз. В данной системе возникает возмущение с нарастающей амплитудой в виде ряби. Неустойчивость подобного типа называется неустойчивостью Тейлора. Ее физический смысл состоит в том, что перемещение тяжелой жидкости вниз приводит к выделению большего количества энергии (за счет потенциальной энергии), нежели необходимо для перемещения соответствующего количества легкой жидкости вверх. Если на границе раздела действуют силы поверхностного натяжения, то они вызывают стабилизирующий эффект, особенно для мелкой ряби, поскольку развивающаяся неустойчивость увеличивает поверхностную энергию. Вследствие этого наблюдается стабилизация ряби, имеющей длину волны, меньшую определенного критического значения Хс-Посмотрим теперь, как влияет на развитие неустойчивости однородное магнитное поле В. Если поле параллельно границе раздела, то оно не оказывает никакого эффекта на однородную рябь, вытянутую вдоль поля В, поскольку в таком случае магнитное поле не претерпевает возмущения (мы предполагаем, что жидкости несжимаемы). Однако однородная рябь, перпендикулярная магнитному полю, изгибает силовые линии, и, если жидкость электрически проводящая, натяжение вдоль магнитных силовых линий (см. разд. 3,3.1) препятствует деформации. Анализ показывает, что на деформации этого типа магнитное поле оказывает стабилизирующее действие, эквивалентное эффекту поверхностного натяжения:

Затем из линеаризованных гидромагнитных уравнений и соответствующих граничных условий выводят дисперсионное соотношение, которое связывает каждую пару индексов ките определенным значением со. Дисперсионное соотношение содержит необходимую информацию о свойствах устойчивости данной системы: величины k и т, для KOTOpix (о имеет отрицательную мнимую часть, соответствуют возмущениям, по отношению к которым система неустойчива.

Часто используют классификацию различных типов неустойчивости цилиндрического шнура в соответствии со значениями т, которым они соответствуют в представлении нормальных мод. Согласно формуле (1), в любой данный момент времени форма возмущенной граничной поверхности определяется действительной частью выражения

R = Ro-\- const exр {J(kz-f /иф)}. (2)

Таким образом, для мод, соответствующих т = 0, это поверхность вращения с радиусом, меняющимся в зависимости от г. Неустойчивости типа перетяжки соответствует мода m = О, В случае т= \ возмущенная поверхность закручивается по винтовой линии (но сечение остается круговым). Это справедливо и для т = - 1, только теперь поверхность закручивается в противоположном направлении. Шаг винта равен 2я/й. Суперпозиция

жидкость несжимаема и обладает бесконечной проводимостью, В этом случае если произойдет локальное сжатие, то плотность тока и азимутальное магнитное поле в месте сжатия возрастут. Следовательно, возрастет и сжимающая магнитная сила (i/c) X В. Таким образом, образовавшаяся перетяжка будет развиваться дальше (а плазма будет выталкиваться по оси и образует расширения сверху и снизу перетяжки). Последовательность таких локальных сжатий деформирует шнур, и он имеет вид ряда утолщений, разделенных перетяжками, отсюда название - сосисочная неустойчивость (в русской литературе - неустойчивость типа перетяжек . - Перев). Изгибание шнура приводит к увеличению магнитной силы с внутренней стороны изгиба, и деформация нарастает. Это неустойчивость типа изгиба.

При математическом анализе устойчивости обычно применяется метод нормальных мод с разложением произвольной деформации в спектр нормальных колебаний.

Например, в случае цилиндрической геометрии при анализе деформаций полагают, что возмущения первого порядка всех величин подчиняется закону

/(г) ехр {yWj ехр [){кг~\-гщ)], (1)