возмущений т= 1 и т = - 1 дает периодическую деформацию изгиба. При более высоких значениях т наблюдаются деформации сечения шнура.

Теория гидромагнитной устойчивости имеет важное приложение к космической физике. Не менее важную роль приобретает она в связи с проблемами магнитного удержания плазмы и потому в последнее время быстро развивается в термоядерных исследованиях. Всестороннее рассмотрение вопросов теории устойчивости можно найти в работах Чаидрасекара [49], отдельные проблемы устойчивости применительно к звездам рассмотрены Леду [70]. Мы рассмотрим лишь некоторые результаты теории, относящиеся к устойчивости винтовых магнитных полей (разд. 3.13.1). Эти результаты нам понадобятся в разд. 3.14.

Большие возможности изучения гидромагнитной устойчивости иногда предоставляют эксперименты с моделями. Этому вопросу посвящен разд. 3.13.2, в котором кратко рассматриваются подобные эксперименты.

3.13.1. Устойчивость винтовых магнитных полей

Однородное магнитное поле в проводящей жидкости может закручиваться при движении жидкости. Существующая аналогия между магнитными силовыми линиями и упругими струнами

Рис. 3.18. Образование петель в винтовом магнитном

поле.

а - силовая трубка до скручивания; б - силовая трубка после образования петли.

позволяет качественно предсказать, что при достаточном скручивании конфигурация станет неустойчивой, причем неустойчивость приведет к образованию петель. Неустойчивость подобных винтовых полей представляет определенный интерес, поскольку такие петли могут играть важную роль в поддержании космических магнитных полей (разд. 3.14.3).

Следующие простые рассуждения [71] позволяют оценить по порядку величин условия, при которых возникает неустойчи-

W. = -±-{{Bl + B2nrcir = l-r-]. (4)

Если силовая трубка деформируется, как показано на рис. 3.18, б, то вследствие образования петли ее длина возрастает по крайней мере на величину А/ = 2я/?. В то же время закручивание изменяется на величину Дф = -2я. Мы рассматриваем случай несжимаемой жидкости, а потому объем nRH остается неизменным, а радиус меняется на величину AJ? =-/?А 2/=-ziRjL Поскольку поток nRB сохраняется, изменение магнитного поля ABz = 2nBzRlL Если теперь найденные приращения I, R и Bz подставить в уравнение (4), то получим, что образование петли приводит к уменьшению магнитной энергии при условии

ф>(/5-1). (5)

Это условие является приближенным критерием неустойчивости.

Количественный анализ данной проблемы был проведен Лундквистом [72] и Данжи и Лоухедом [73]. В цилиндрической

системе координат (г, ф, г) (единичные векторы г, ф, z) винтовое магнитное поле можно записать

В=5(г)ф+5Лг)£. (6)

Силовые линии лежат на цилиндрических поверхностях и образуют с осью угол

Tp = arctg(). (7)

а шаг винтовой линии равен

2пгВ.

Магнитная сила направлена по радиусу и в состоянии равновесия компенсируется радиальной составляющей градиента давления.

вость, способствующая петлеобразованию. Рассмотрим цилиндрическую силовую трубку (рис. 3.18, а) длины / и радиуса )?<С/. Если на одном конце она закручивается на угол ф, то создается азимутальное магнитное поле напряженностью

В = В (3)

где Bz - аксиальная составляющая напряженности. В таком случае магнитная энергия силовой трубки возрастает и равна

в о2п2 / п2,.2

138 Гл. 3. Магнитная гидродинамика

Возмущение, связанное с деформацией, в декартовой системе координат имеет вид

1 = А cos Ьх sin azx-\-С sin Ьх cos azz, (9)

причем CjA - bla (условие несжимаемости). Лундквист вычислил для такого возмущения полное изменение магнитной энергии и показал, что уменьшение энергии (а следовательно, , неустойчивость) имеет место при условии

\ Blrdr>2\ В\rdr. (10)

(Более строгое и изящное обоснование энергетический метод получил в последующих работах [74, 75].)

Поскольку мы рассматривали частный случай возмущения (9), условие неустойчивости (10) является достаточным., но не должно быть необходимым.

Из уравнения (10) следует, что в том случае, когда присутствуют как аксиальное, так и азимутальное поле, конфигурация становится неустойчивой, если средняя плотность энергии азимутального поля вдвое превышает среднюю плотность энергии аксиального поля. Как указывалось выше, только азимутальное поле имеет пинч и потому является неустойчивым.

Данжи и Лоухед [73], используя метод нормальных мод, установили, что цилиндр радиуса R с равномерно закрученным магнитным полем (постоянный шаг винта р) неустойчив, если выполняется неравенство

p<\R- (11)

3.13.2. Модельные эксперименты по изучению неустойчивостей

Неустойчивости различных типов проявляются в горячей плазме, однако в этих условиях, как правило, трудно наблюдать в деталях развитие неустойчивостей. Иногда эти наблюдения легче проводить в опытах с проводящими жидкостями.

В работах (76, 77] описаны эксперименты по изучению неустойчивостей в струе ртути, через которую пропускается ток. В этих опытах струя ртути вытекала вертикально нз кругового отверстия в металлическом сосуде в другой проводящий сосуд, образуя таким образом шнур практически цилиндрической формы. Через шнур пропускался электрический ток, величину которого можно было регулировать до 400 а. Эксперименты проводились как в отсутствии поля, так и при наложении внешнего аксиального магнитного поля.