включать в себя эквивалентную силу, учитывающую эффекты столкновений между частицами.

При макроскопическом подходе рассматривают среднюю скорость v всех частиц (каждого сорта), находящихся в элементе объема, большом по сравнению с ларморовским радиусом и средним расстоянием между частицами, но еще достаточно малом, чтобы его можно было рассматривать как почти однородную область. Если линейные размеры рассматриваемого элемента объема значительно больше средней длины свободного пробега %, то частицы, содержащиеся в элементе объема в некоторый данный момент времени, остаются в нем при движении объема со скоростью v. В этом случае каждую компоненту плазмы можно рассматривать как жидкость (электронная жидкость, ионные жидкости и жидкости, состоящие из нейтральных молекул), движение которой описывается макроскопической скоростью.

Если средняя длина свободного пробега больше линейных размеров любого интересующего нас элемента объема, то такое приближение становится непригодным. Средняя скорость частиц, находящихся в данном элементе объема в данный момент времени, все еще является вполне определенной величиной, но использование ее для описания плазмы теряет смысл.

В плазме высокой и средней плотности выполняется условие X<g;/c, и для ее описания можно пользоваться жидкостными моделями. Но такие модели не пригодны для плазмы низкой плотности, поскольку в этом случае

5.2.2. Соотношение между скоростью дрейфа и макроскопической скоростью

Макроскопическая скорость v определяется как средняя скорость частиц, находящихся в данном элементе объема. Скорость Ubp - средняя скорость центров враидения, находящихся в том же элементе объема, может существенно отличаться от скорости V. Это связано с тем, что центры вращения некоторых частиц данного элемента объема находятся вне этого объема, и наоборот. Для иллюстрации выведем формулу, связывающую скорости V и Ubp, предположив, что магнитные силовые линии представляют собой прямые.

Ограничимся случаем, когда такие величины, как напряженность магнитного поля, плотность, давление и т. д., меняются медленно, так что

Р<:.. 0)

где р - ларморовский радиус, а 4 - характерная длина изменения этих величин. Из нашего предположения непосредственно

следует, что плотности частиц и центров вращения приблизительно равны

ппр. (2)

Как мы увидим в дальнейшем, несмотря на условие (1), скорости v и могут существенно различаться [2].

Для вычисления разности v - Usp воспользуемся системой координат с осью Z, параллельной полю В. Пусть ДУ=Ал;Аг/Д2 - элемент объема, линейные размеры которого значительно больше ларморовского радиуса р. Рассмотрим усредненный по времени полный импульс частиц, находящихся в данном объеме. Его составляющая, перпендикулярная полю В, с точностью до малых членов равна т(п dx dy ёг)ивр±- Теперь вычислим импульс частиц, пересекающих границу / (рис. 5.3). Мгновенную скорость отдельной частицы обозначим Wj. Согласно определению макроскопической скорости, граничная частица вносит вклад в макроскопическую скорость элемента объема только на том участке ларморовской окружности, который лежит внутри объема.

Поэтому ее эффективная скорость определяется формулой Ф

©8

Wj COS ф й?ф =

Sin0 ,q\

Рис 5.3. Различие между макроскопической скоростью и средней скоростью центров вращения.

(Поскольку вращение не является полным, эффективная скорость имеет тот же порядок величины, что и Wj, и таким

образом, может быть значительно больше, чем скорость дрейфа. Именно в силу этого обстоятельства граничные частицы, число которых мало, вообще играют роль.) Число частиц, соответствующих углу ф в интервале от ф до ф-\-dф, равно tidy dzp sw фdф. Согласно формуле (3), каждая из них вносит в импульс вклад {mw/n) sinf. Проинтегрировав по, находим

tidy dzp sin фdф = mnp dy dz.

- (-IrW, mnp dx dz] x - dxdydzX

,1 д , . - 1 д mnw -

где X и у - единичные векторы в направлении х ц. у, а верхний знак соответствует положительным частицам. Поскольку согласно формуле (8) разд. 2.2.1,

выражение (5) можно представить в виде

Если мы введем давление, перпендикулярное силовым линиям (см. разд. 5.9.3),

то получим

i-%i = BXgrad(). (9)

Если скорость W различна для различных частиц, как это бывает в плазме, ее квадрат w следует заменить в формулах (7) и (8) средним значением, полученным из распределения скоростей, а выражение (9) останется неизменным.

Для движения вдоль силовых линий справедлива формула

. -=-.8rad(i). О,

В общем случае можно показать (см., например, [2,3]), что

nmw I В \ с

--1 = -rot

25 В еп

(10а)

Аналогичные результаты можно получить для частиц, находящихся на границах 2, 3 ш 4. Таким образом, полный импульс nmvdxdydz, перпендикулярный В, определяется выражением

± nmv dx dydz= ± тт dx dy dz - wmnp dy dz у -f-+ f 4- I dy d] У + (4- 1 i P dx dz] x -