( г,. ? Л kT, р,

где \1 - орбитальный магнитный момент, определяемый формулой (13) разд. 2.2.1. Заметим, что величина Ш = пц{-В/В), которая входит в выражение (Юа), представляет собой объемную плотность магнитного момента, обусловленного круговым движением заряженных частиц.

5.2.3. Макроскопические уравнения

5.2.3.1. Модель трех жидкостей

В этом разделе мы выведем общие уравнения, связывающие плотность тока и скорость с электрическим и магнитным полями для трехкомпонентной плазмы, состоящей из электронов, одного сорта ионов и одного сорта нейтральных молекул. Наш анализ будет основан на макроскопических уравнениях движения для каждого сорта частиц. Эти уравнения (см. формулы (21) - (23) разд. 5.2.3.1) можно строго вывести из уравнения Больцмана (см. разд. 5.9), но сейчас мы получим их из уравнений дрейфа (см. разд. 2.3.4), учитывая эффекты, обусловленные вращением частиц [см. формулы (9) и (10) разд. 5.2.2] и соударениями.

Предположим, что распределе1ше по скорости почти изотропно. Данное предположение ограничивает область применимости наших результатов. Они непригодны, например, для случая низких плотностей, когда распределение по скоростям часто бывает анизотропным.

Будем исходить из уравнений (39) -(43) рйзд. 2.3 для дрейфа отдельной частицы, имеющей массу и заряд е;

Ubp* = --stB x{,E + f*-t*grad5-m,*}, (11) 0 = (e,E + f*-li*grad5-m,*), (12)

a ffe - полная механическая сила, действующая на частицу, которая включает, например, гравитационную силу. Индексы I. и II относятся к компонентам векторов, перпендикулярным и параллельным полю В. Магнитные моменты \1и отдельных частиц различны, но в предположении изотропии распределения по скоростям мы можем найти их средние значения

ДЛЯ ИОНОВ и

л, ч ( i) 3l

для электронов. Г,- и - ионная и электронная температуры, а pi и Ре - соответствующие давления. (Из предположения об изотропии следует, что тензор давления сводится к скалярному давлению, см. разд. 5.9.)

Таким образом, средняя скорость центров вращения, перпендикулярная полю В, для электронов равна

Bpe = -iBx{e,E + f.-grad5-m,}, (15) а для ионов

BP = -Bxb,E+f,-grad5-m,). (16)

Члены fe и fi соответствуют средним значениям механических сил. В дальнейшем будем предполагать, что ионы имеют единичный заряд, так что ej = -ее=\е\, и используем условие квазинейтральности

rt;i-f Аг,е, = 0, (17)

откуда получаем

П1 = Пе = п (17а)

(см. разд. 1.4 и 4.2.3).

Из формул (9) и (10) разд. 5.2.2, принимая во внимание равенство

grad (I ) = grad р~-Р, grad В,

можно вычислить макроскопияескую скорость электронного газа. Пренебрегая малыми членами, получим

=7BBx{-m,-UE + f.-4gradp4> (18а)

-[-е-\е\Ее-р\- (186)

Аналогично для ионного газа

v-L=TBx{ t.-E-f,-f4gradA}, (19а)

Интересно отметить, что член, содержащий grad В, отсутствует. Таким образом, градиент магнитного поля не может

непосредственно вызвать макроскопическое движение, а следовательно, и ток, а также силу iXB. Однако этот результат получен в предположении об изотропии распределения по скоростям. Следовательно, он не справедлив для пограничных слоев, где распределение по скоростям анизотропно. (Этим объясняется возможность удержания плазмы в магнитном поле, например в ловушке с магнитными зеркалами.)

При столкновении с нейтральной молекулой электрон в среднем теряет импульс, равный /Пе(Уе-v ). Если такие столкновения происходят с частотой \/хеп, то средняя сила, действующая на один электрон, в результате соударений равна -те{\е - - У )/теп. Аналогичное рассмотрение можно провести для электрон-ионных столкновений. В таком случае эффективное время столкновений Xei определяется дальними соударениями (см. разд. 4.3.2). Таким образом, если мы учтем еще гравитацию, то для механических сил, действующих на электроны и ионы, получим

тАе-п) шАУе-п) (20а)

~еп el

тАщ-Уп) тЛе-Щ) g (206)

~ln ~ei

где Ten И Tin - время столкновений электронов и ионов с нейтральными частицами. Отметим, что Хгп - эффективное время столкновений ионов с нейтральными частицами (с учетом того факта, что при каждом реальном соударении теряется не весь импульс).

Помножим уравнения (18а) и (19а) векторно на пеВ/с и после небольших преобразований из уравнений (18) и (19) получим

e - t\e\{E + [)XR}-graAp, + ni (21)

nm, = {E + ()XB}~gradA + f,. (22)

где fe и f, определяются формулами (20а) и (206). Если нейтральные молекулы имеют массу /п и плотность п , то имеем

ИпГПп = -grad + (v,-v ) + (v,-v ), (23)

at len i(n

где Рп - давление нейтрального газа.

Уравнения (21) -(23) представляют собой уравнения движения трехжидкостой модели для случая однократно заряженных ионов (см., например, [4]).