соотношение

/(r + vrf v + l-fi? t-\-dt)-f(r, V, t)]dx = (%) dxdt. (4)

\ m J J /столки

Если dt->0, это соотношение принимает вид

dt , df , df , df ,

m dv, m dv- m dv -[dt

ИЛИ, короче,

l + (V grad),+ (ig,a<i )f = (!-) . (6)

Уравнение (5) представляет собой уравнение Больцмана, которое имеет фундаментальное значение в кинетической теории газов. Если присутствует более одного сорта частиц, как это всегда бывает в случае ионизованны.х газов, для каждого сорта частиц можно написать уравнение типа (5). Например, для плазмы, состоящей из электронов и протонов, функция распределения электронов подчиняется уравнению

t -Н (V. grad)+ (Ь grad.) f, = + [(IIJ (7)

где последний член соответствует столкновению электронов с протонами. Аналогичное уравнение справедливо для протонов.

В случае короткодействующих сил (например, в слабо ионизованной плазме) член, учитывающий столкновения, обычно выражается через интеграл столкновений , взятый по распределению скоростей, и уравнение Больцмана принимает вид ин-тегродифференциального уравнения. В случае кулоновских сил, которые являются дальнодействующими, большинство столкновений приводит к незначительным изменениям скоростей (см. разд. 4.3.2). В таком случае интегралы столкновений можно разложить по степеням изменения скорости, и мы приходим к уравнению Фоккера - Планка (см., например, [47]).

В плазме низкой плотности средняя длина свободного пробега велика, и взаимодействие заряженных частиц обусловлено не столкновениями, а главным образом электрическими полями, которые создаются коллективным движением частиц. В таком случае в первом и достаточно хорошем приближении член, учитывающий столкновения, в уравнении (5) вообще можно отбросить. Бесстолкновительное уравнение Больцмана, рассматриваемое совместно с уравнениями Максвелла, обычно называют уравнениями Власова [48]. Они справедливы для разреженной бесстолкновительной плазмы.

5.9.2. Равновесное распределение

Точное стационарное решение уравнения (5) представляет собой распределение Максвелла - Больцмана, которое соответствует термодинамическому равновесию. Для того чтобы такое равновесие существовало, немагнитные силы должны иметь потенциал. Тогда полную силу можно записать как

F = e(-)xB-gradf (8)

Распределение Максвелла - Больцмана имеет вид

где о и Т - постоянные, представляющие собой плотность на эквипотенциальной поверхности =0 и температуру. Отметим, что в условиях равновесия температура везде одинакова, как в отсутствие, так и при наличии сил.

Из формулы (9) следует, что при тепловом равновесии магнитное поле само по себе не влияет на функцию распределения. Плазма, удерживаемая магнитным полем, не находится в термодинамическом равновесии, но она может достигать магнитогидростатического равновесия. Это означает, что ее состояние описывается стационарным решением магнитогидростатических уравнений (см. разд. 3.12). Поскольку времена установления термодинамического равновесия обычно велики, удержание в магнитном поле играет важную роль как в лабораторной плазме (термоядерные устройства), так и в космической физике (радиационные пояса Земли).

5.9.3. Тензор давления

Макроскопические величины, такие, как плотность, массовая скорость и т. д., являются средними по функции распределения (точнее, моментами функции распределения). Поэтому макроскопические уравнения разд. 5.2.3 можно получить, соответствующим образом проинтегрировав по пространству скоростей уравнения для функции распределения. Если провести такие расчеты (см., например, [3, 49, 50]), то мы получим макроскопические уравнения разд. 5.2.3 в несколько более общем виде, в котором они пригодны для рассмотрения случаев анизотропного распределения по скоростям. Такие уравнения вместо градиентов давлений -grad Ре и -grad pi содержат дивергенции тензоров -Div We и -Div Wi.

Опуская индексы е и i, мы можем записать их в виде

(10)

где X, у, Z - единичные векторы, параллельные осям координат.

Компоненты тензора давления W можно выразить через усредненные по распределению скоростей попарные произведения компонент скорости частицы Wx, Wy, w, измеряемой в системе координат, которая движется со средней скоростью системы частиц

ух

где угловые скобки означают усреднение по распределению скоростей.

Во многих случаях тензор давления имеет значительно более простой вид. Например, для магнитной плазмы его часто можно привести к виду

/ О О \

W=: О Р, О

(12)

p = mn(wl) = mn(wl), (13)

p=mn(wl), (14)

если одна из координатных осей [в формулах (12) - (14) -ось г] направлена параллельно силовым линиям магнитного поля. Теперь члены -Div4 e и -Div4 i принимают вид

- Div¥ = x

)+y(-) + -z(-).

(16)