2 X

, (111.89)

Для случая неоднородной среды, составленной из чередующихся металлических и полупроводниковых слоев.

Максимальная термоэлектрическая добротность

макс 2,

[l + l (,/(p(l+Zi 2r,p)]

tg Фонт = я-гт К БЗ + -Р-

(111.90) (111.91)

При оптимальном угле ф максимальные значения добротности достигаются при максимальных а, минимальном отношении чисел Лоренца Lj, L.

(111.92)

v к гРг 2 7*

и оптимальном t :

{П1.93)

По данным работы [8], добротность и соответственно КПД преобразования слоистых элементов могут достигать значений термопарных элементов. Предлагается использовать слоистые термоэлементы в термогенераторах и термохолодильниках поперечного типа.

§ 8. Термоэлементы

Нернста - Эттингсгаузена

1. Простейшая модель

В термоэлементе использован эффект возникновения в направлении, перпендикулярном тепловому потоку, термоэлектродвижущей силы Нернста - Эттингсгаузена при наличии магнитного поля вдоль г и теплового потока вдоль х (рис. П1.30). В простейших случаях [47, 54, 85] термоэлемент состоит из одного или двух брусков, на которых стационарно поддерживается разность температур. Грани с температурами T-i и изотермичны, на остальных гранях, в зависимости от режима-работы, могут иметь место различные температурные условия. Магнитное поле однородно. Преиебрегается явлениями

на контактах брусков с токовыми проводниками, а также температурными зависимостями параметров материала брусков. Преиебрегается также термоЭДС, вызванной эффектом Риги - Ледюка. Значение этой термоЭДС составляет не более 3,5%-ЭДС Нернста- Эттингсгаузена.

Коэффициент полезного действия термоэлемента

(П1.94)

где W - электрическая мощность, выделяемая во внешней нагрузке R, Qa, - подводимая к термоэлементу тепловая мощность. Тепловой баланс на горячей грани описывается уравнением

(III.95)

Рис. III.30. Модель термоэлемента Нернста - Эттингсгаузена:

/, 2 - бруски с положительным и отрицательным постоянными коэффициентами Нернста - Эттингсгаузена, R - нагрузочное сопротивление [47].

где -тепло, переносимое термоэлементом за счет теплопроводности, Qg--тепло, передаваемое источнику тепла за счет эффекта Эттингсгаузена, Сд -тепло Джоуля, равное, как и для термопарных элементов, половине выделившегося в термоэлементе тепла за счет протекания электрического тока /. Они определяются выражениями

1Ц1 + 2 Щ (Ti - Га) = х {Ti - Га). (III.96) ibih Arg ХаЬа/а А7 Л

(III.97) (111.98)

где Х£ и Ха - коэффициенты теплопроводности материалов брусков. Pi и Ра - их удельные сопротивления.

ДГ)=Рэе Ь1. (111.99)

ATf РВЦЬ (Г11.100)

- перепады температуры на брусках, вызванные эффектом Эттингсгаузена, Рэ, э, ~ эФФиЦИе Эттингсгаузена, б - магнитная индукция.

с учетом связи между постоянными Нернста - Эттингсгаузена Qj и Эттингсгаузена [50] (см. 1.83) из (III.97) и (III.99) следует

Т,В1 = UI.

(П1.101)

\ di

Электродвижущая сила, развиваемая термоэлементом,

Е = + В {Ti - Т,) = нэ (1 - )- ( -02) Мощность, развиваемая на внешней нагрузке.

г { ,+ !)?

Из (II 1.94) коэффициент полезного действия

VnK

-ц.гЦ+тгГ Т.

Г,-Га

(III.103)

(III.I04)

где гпг = R/r, т) = -

коэффициент полезного действия

цикла Карно. Обычно бруски имеют одинаковую длину = и КПД термоэлемента достигает максимума, когда отношение между шириной первого и второго брусков удовлетворяет условию

(III.105)

Для термоэлемента Нернста- Эттингсгаузена, как и для jepMonap-ного, вводится критерий добротности, зависящий от свойств материала и значения напряженности магнитного поля.

7 нэ

(111.106)

Если материалы брусков обладают одинаковыми свойствами, то

(III. 107)

Максимальный КПД преобразования достигается при одинаковых свойствах материалов: pi = p2, х = Х2, Qi - Q-

Кроме оптимизации по геометрическим размерам и свойствам материалов проводится оптимизация по отношению между внешней нагрузкой и внутренним сопротивлением термоэлемента

где T = -{Ti + T). С учетом (III. 106)

1 -/Пр

Imbkc - Чк-т-

Условие максимальной мощности достигается при s= 1:

4 02 1

(III.108)

(III.109)

(ni.llO)

Для этого случая ток и мощность составляют

(III.111)

Мощность, снимаемая с единицы площади - поперечного сечения термоэлемента.

НЭ (Ti-T,f.

(П1.112)

Максимальная мощность, отнесенная к единице площади, W достигается при

bi/b.

Ра

(III.113)

Обычно г] ар отличается от т/ц не более чем на 0,1%.

Расчет КПД, как правило, производится для двух режимов работы термоэлемента - изотермического, соответствующего условию

= 0, и адиабатического, при котором предполагается отсутствие

потоков тепла вдоль у. В [72] получены приближенные выражения для КПД преобразования, справедливые при небольших Zf. Проведены также расчеты КПД с учетом анизотропии кинетических коэф-, фицнентов, получены громоздкие выражения, имеющие ограниченное применение, поэтому в настоящем справочнике они не приводятся. Читатели, интересующиеся этими расчетами, могут обратиться к первоисточникам [50, 62, 63, 65, 66]. Дополнительные сведения о термоэлементах Нернста-Эттингсгаузена можно получить в работах [59, 61, 64, 68, 74, 75. 79].

2. Учет температурных зависимостей свойств материала

Для термоэлемента из материала, электропроводность с (Г), теплопроводность х (Г) н постоянная Нернста-Эттингсгаузена Q- (Т) которого зависят от температуры (о (Г), х (Т), (Г)непрерывные и ограниченные функции с непрерывными н конечными первыми производными), максимум КПД преобразоваьия достигается путем оптимизации сечения в направлении, перпендикулярном тепловому потоку (рис. П1.31). Если / = const, то задача оптимизации сводится к определению изменения ширины термоэтемента Ь. Решение находится при использовании модели, в которой термоэлемент разбивается на ряд параллельных слоев таким образом, чтобы в пределах каждого

слоя свойства материала можно было принять независимыми от температуры [55]. Предполагается, что в каждом слое ток течет параллельно границам раздела и разности потенциалов на концах всех слоев

Рис. П1.31. Модель для определения оптимальной формы термоэлемента Нернста - Эттингсгаузена.

одинаковы. Для каждого из слоев производится оптимизация по условию согласования с внешней нагрузкой путем изменения Ь. Выражение для оптимального потока энергии при этом имеет вид

Qo (Т) = Qr, exp J Z (Г) [m (Г) + l]-2 dT, (П1.П4.)

где Qr, - поток энергии через грань с температурой Г,

н()---. tna(T) - [\ - TZfj(T)] 2,

В -индукция магнитного поля, не зависящая от координат. Оптимальное изменение геометрических размеров определяется из интегрального уравнения

BQ{T)Qj.

{l + [\-Z {T) Г]/2}£(Г)х(Г)

{i + l\-TZ(T)tyi- -

X exp

Для нахождения 6 как функции х необходимо использовать уравнение

В (Ш.Иб), {И1.116)

f [1 -rZ(r)]*Q (Г) 1 + [1-2я(Г)]/*

E{T)-gBQ (Т)

то (Т) \+то(Т)

dT. (in.116)

(111.117)

Решение (III.115), (III.116) при известных о (Г), х(Г), (Г) находится численными методами.

Оптимальная внешняя нагрузка определяется из выражения

i- = I ВЕ-Ы1 (шо + 1)- а (Г) Ьо (Г) (Г) dT. (Щ.! 18)

Для малых Zfj и о и 1 формулы (111.115), (111.116) можно упростить:

Qj-BQ - (Г)

~ 2Е (Т) X (Т) т

(111.119) (III.120)

Установлено, что малые отклонения от оптимальной формы термоэлемента не приводят к существенному изменению КПД.

3. Многокаскадный термоэлемент Нернста - Эттингсгаузена

Многокаскадный термоэлемент Нернста - Эттингсгаузена позволяет получить большее напряжение, чем при использовании однокаскадного. При последовательном соединении каскадов (рис. III.32) развиваемая термоапементом ЭДС

Е~ V Ei, (111.121)

где Ei - ЭДС на концах t-ro каскада (Л - число каскадов). КПД многокаскадного термоэлемента [47] определяется из выражения

Т1=1-П{1-Г1,), (m,I22)

где т]. - КПД 1-го каскада. Сравнение одно- и многохаска, н лх термоэлементов, изготовленных из одного и того же материала.