Его решение дает выражение для распределения температуры

31 (

(1V.87)

Гер = у(Гс + 71).

Из (IV.87) определяется оптимальное электрическое поле

Г = \в2йуП (IV.88)

и соответственно максимальный перепад температуры

(IV.89)

ЛТ - 7

где Qo - тепловая нагрузка на холодильник. При Qo = О максимальный перепад температуры

1 , . 2

: = -2 2н31о-

Холодильный коэффициент (отношение поглощенной холодной гранью тепловой мощности Qo к затраченной электрической мощности)

ДГ 1 - HSlcp

-H 31

. (IV.90)

Оптимальное электрическое поле, приложенное к образцу, при котором достигается максимальный е,

.опт дтд 31 ср

S-(i-;;i/rw7p)

(IV.91) (IV.92)

Сравнение результатов, полученных при допущениях /з = const и вз = = const, показывает, что распределение температур для йд = const является более точным, однако результирующие формулы при ZfjTp< 1 близки между собой. При расчетах целесообразно пользо- f ваться формулами (.IVj88) - (,1V.92).

Коэффициенты изотермические. Соотношение изотермической Z и адиабатической Z добротностей [84] связаны выражением

(1-4 цТ) (l+Z% ,.Г) = 1. (IV.93)

Решения для упрощенных или частных случаев рассмотренной модели приведены в работе [87].

3. Учет температурных зависимостей свойств материала

Параметры термоэлемента при учете температурных зависимостей свойств материала могут быть найдены из решения уравнения (IV.86) численными методами. Для случая, когда Q - Т~, Рзз и хп const, найдено аналитическое решение [52, 119]. Выбранные температурные зависимости имеют практический смысл: ими могут быть аппроксимированы изменения с температурой параметров материала Bi - Sb - одного из перспективных для практического использования в гальвачомагнитных охладителях [84]. Принятые допущения записываются в виде

Qii (Т) = 0, {То) . Рзз (Т) = Рзз (То) р , хн = const. (IV.95)

Это означает, что

31 (Т) - 31 (о) f-

и соответствует Z з,Г = const. Уравнение (IV.86) для этого случая приводится к виду

- +т%Т = 0, (IV.96)

BQiiTy 1-г з,г-

Решение (IV.96) при граничных условиях Т (0) = Tf, Т (Ь) = Т имеет вид

Го - Г, согш 6 Т =- sin (OfjXi + Ti cos юж (IV.97)

sin (0

Максимальный перепад температуры

(IV.98)

достигается, если приложить электрическое поле B2Q31

iT sinKz 3ir Холодильный коэффициент

Ti sin (йЬ + YГi cos (вЬ -

ДГ sin + 2УffT (1 - cos

(IV.99)

(IV. 100)

F я 31

Максимальный холодильный коэффициент достигается при напряженности электрического поля, определяемой из уравнения

(7- + Т]) (cos ш Ь)° + (Г? - Т\) (sin (0,6)° -

- 2TgTi = О, (IV.101)

3 котором 6 содержится в аргументах косинуса и синуса.

4. Каскадирование

Одним из преимуществ термоэлементов Эттингсгаузена является возможность их каскадирования путем использования термоэлемента специальной формы. Схема, поясняющая эту возможность, приведена

на рис. IV.22. Она содержит набор прямоугольных элементов, размеры которых выбираются таким образом, чтобы при их расположении друг над другом достигалось обычное каскадное охлаждение. При этом предполагается, что тепло, генерируемое каждым из элемен-

Рис. IV.22. Схема, поясняющая каскадирование термоэлементов Эттингсгаузена.

тов, равномерно распределяется по холодной грани находящегося под ним элемента. Если размер термоэлементов в направлении у (их длины) одинаков, то при ряде упрощающих допущений к каждому из элементов может быть приложено одинаковое электрическое напряжение, т. е. все термоэлементы могут иметь общий источник питания. Можно также допустить, что распределение потенциалов на горячих и холодных гранях термоэлементов приблизительно одинаково, поэтому наличие электрического контакта между термоэлементами не приводит к существенному искажению распределения тока и температуры. Таким образом, каскадирование сводится к изготовлению охлаждающего термоэлемента, у которого боковые грани должны иметь специальную форму.

Расчет формы боковых поверхностей, при которых достигается максимальное охлаждение, явился предметом исследования в ряде работ [98, 104, 105, 120, 129]. Для случая [129], когда свойства материала термоэлемента не зависят от температуры, плотность тока постоянна во всем объеме, а, b<d (см. рис. IV.22), и влияние ЭДС Нернста пренебрежимо мало, максимальное охлаждение достигается при экспоненциальном изменении вдоль х:

= 2(0)е

(IV. 102)

где г (0) = -g-, do, УГ - градиент температуры.

В работе [137] было показано, что для достижения максимального холодильного коэффициента каскадной батареи необходимо, чтобы холодильные коэффициенты каждого нз каскадов были равными. В таком же предположении более точное [104, 110] выражение для геометрии элемента имеет вид

г() = г(0) При оптимальном токе

z{b)

z(0)

p(i-6)fc

максимальный перепад температуры

г(0)

г (6)

(IV.103)

(IV.104)

(IV. 105)

где S - площадь поперечного сечения термоэлемента перпендикулярно току, р - среднее удельное сопротивление материала, 6 = = j/l - ZfjTp. Температуры холодной и горячей поверхностей должны удовлетворять условию

г(0)

/Г \Г=8

(IV. 106)

Для случая, когда термомагнитная добротность зависит от температуры, причем ZfT = const [120 , изменение температуры вдоль X дается выражением

Ti-\Tif г

изменение ширины образца -

Т \У1+яГср- ,

(IV. 107)

(IV. 108)

отношение между размерами горячей и холодной граней -

. г(0) [Tij

(IV. 109)

холодильный коэффициент -

е -

/ 1+гяГср+1

(IV. 110)

Для более сложных завясимостей электро- и теплопроводности и коэффициента Нернста от температуры (о (Г), и (Г), (Г) - функции непрерывные и ограниченные, с ограниченными непрерывными первыми производными) координаты огибающих поверхностей хг определяются из уравнений [98]

BQ (Г)

{1-11-TZfj (Т)]/2} {/и (Г)

С Z (Т) dT

xQ°-PJ(i H-7-z;,(r)]-/}r ( )

Bd} l-TZfJ(T)]Q(T)

Bd Г II-TZ-f,(T)rQ- (Т)

i-[i-rz;,(r)]/ (-

7

и (Г)

{/ - напряжение, приложенное к термоэлементу, Qo -тепловая нагрузка термоэлемента.

При известных а (Г), х (Г), Q (Г) задачи решаются численными методами. Варианты расчета охладителей Эттингсгаузена приведены в работах [92, 93, 99,101,108, 139, 140]. Последовательное изложение теории холодильников Эттингсгаузена приведено в книге Хармана и Хонига [111] и в [61].

5. Макеты термоэлементов и результаты их испытаний

Охладители прямоугольной формы. В первых опытах по охлаждению эффектом Эттингсгаузена на прямоугольных образцах 99% Bi и 1% Sb получено снижение температуры на 0,25° С [129].

Из материала 97% Bi - 3% Sb изготовлены охлаждающие эле-ментыкак прямоугольной, так и экспоненциальной формы [84, 112,

Достигнутые перепады температуры приведены на рис. IV.23. Для элементов размерами 0,6 X 2,6 X 0,2 см при токе 12 А и по-

требляемой мощности 2,7 Вт в магнитном поле 0,6 Т получено охлаждение на 30 К от 150 К, при мощности 2,6 Вт в магнитном поле 1,2 Т перепад достигал 36 К [52]. В работе [119] на материалах

0,4 0,8 1,2 ВТ

Рис. IV.23. Зависимость перепада температуры от напряженности магнитного поля в холодильнике Эттингсгаузена прямоугольной формы. Температура горячей грани:

/ - 156 К; 2 - 195 К; 3 - 77 К ЩЗ].

Рис. IV.24. Схема прибора для измерений перепада температуры в термоэлементе Эттингсгаузена: 7 - образец; 2 - контакт образца о токоподводом; 3 - трубки} 4 термостатирующая жидкость; 5 бакелитовый корпус [НО].

такого же состава при отношении ширины образца (вдоль магнитного поля) к его высоте с: fc = 4,3 получено охлаждение от 156 К на 25 К в поле 1 Т. Дополнительный перепад температуры на переходе горячая грань - термостат ухудшал охлаждение на 5 К. Таким образом, перепад температуры в образце достигал 30 К. Эти результаты сравнивались с рассчитанными по формуле (IV.98). Получено совпадение в пределах ошибки эксперимента. Более подробные результаты приводятся в работе [84].

По экспериментальной методике, описанной в работе [ПО] (рис. IV.24), измерены перепады температуры на трех прямоугольных образцах различных геометрических размеров, изготовленных из висмута. Результаты измерении приведены в табл. IV. 2. Причиной различия между экспериментом и рассчитанными значениями перепада

Таблица IV.2

Охлаждение

элементами Эттингсгаузена от комнатных температур [ПО]