Главная >  Фильтры гармоник отражательнопоглащающие 

1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

. 2г-1

Здесь Or~sm-я, n - число

Y = h- , p=2ar sh - ,h-неравномер-2n h

для четных номеров звеньев

звеньев; = + sin

ность в полосе пропускания (по напряжению); Qj - добротность лервого звена:

ai fo

У 2Л/1

(1.45)

Вычисление SQr в общем виде ввиду сложности выражений (1.43) и (1.44) затруднено. Однако если представить искомую сумму в виде 2Qr=<?iS , то оказывается, что сумма \] - являет-

Qi ш Qi

ся сравнительно простой функцией от р и п при пЗ.

Вид этой функции If (р. rt)= - был определен на основе анали-

7 ,6 5 А 3

ti.s,

la табулированных значений чебышевско-го нормализованного фильтра [18] для значений h до единицы- (что соответствует допустимым провалам в полосе прозрачности в 3 дБ). На рис. 1.15 приведена зависимость 1)(р, и) от п при различных h. Как видим, эта функция при п~Ъ хорошо аппроксимируется выражением

г)(Р rt) = (i-l-trt.

(1.46)

3 5 6 7 в 9П

где fi и т являются функциями рис достаточной точностью определяются выражениями:

(1.47) (1.48)

ц = 0,726 -0,451 р; т = 0,356 -\- 0,235р.

Рис. 1.15. Зависимость у пбпячпм

, функции й фильтра с ООраЗОМ,

SQ, = Qi(n-]-trt).

чебышевской характеристикой от числа звеньев

(1.49)

;Преобразуем теперь выражение (1.46) так, чтобы выразить Qj через заданное значение функции рабочего затухания --Для фильт-

ра с чебышевской характеристикой при больших расстройках от резонансной частоты

(1.50)

Для наших расчётов воспользуемся приближенным значением полинома

. (2Х) 2

справедливым при Х>2. Из (1.50) с учетом (1.51)

\ Л /

Jo fo 1 2Д/п 2Д/з 2

Г . Ро \ 1

с учетом (1.45) и (1.53) выражение (1.49) запишем в виде

SO = fo Л- Y 2Д/з 2

(Ц + ТП).

(1.51)

(1.52) (1.53)

(1.54)

Найдем, как и в предыдущем случае, оптимальное значение ло.

Мри дифференцировании можно положить = f-- Тогда

2Р 2Д/з

е( ) =

/ 4 \-!-

(Ц + trt);

e(rt) = -(fX + Trt)

Приравняв выражение (1.57) нулю, получим квадратное

решив которое, определим величину по:

/?= 1п-

(1.55) (1.56)

(1.57)

уравнение

(1.58)

(1.59)

(1.60)



Сравним потери в двух фильтрах с максимально-плоской и чебышевской характеристиками. Пусть требуется реализовать фильтр со следующими параметрами: затухание при расстройке JSitai/fa, fie. jo8. допустимая неравномерность в полосе пропускания А=0,1.

Расчет показывает, что число звеньев фильтра с максимально-плоской характеристикой, необходимое для обеспечения заданных требований, равно 1<1, а фильтра с чебышевской характеристикой 7. Потери в фильтре с максимально-плоской частотной характеристикой, вычисленные по ф-лам (1.25), (1.37), (1.38), будут:

Уо /3

Потери в фильтре с чебышевской частотной характеристикой вычисленные по ф-ле (1.25), с учетом (1.47), (1.39), (1.54) составляют

8,69 Jo.

Таблица 1.1

Qo 2Д/з

15.7, дБ.

(1.62)

Заданное значение функции затухания в полосе заграждения бд, дВ

Неравномерность частотной характе-

рнстнкн в полосе пропускания, h(по напряжению)

Оптимальное число звеньев фильтра с че-бышевскЫ! частотной характеристикой, п

Оптимальное число звеньев фильтра с мак-снмально-плоской частотной характеристикой

омп

Мера потерь

0,85

0,95

1,14

0,88

0,96

1,15

0,95

0,97

1,18

Как видно, потери в обоих фильтрах практически одинаковы, хотя число звеньев во втором случае значительно меньше.

В табл 1.1 приведены данные об оптимальном числе звеньев для фильтров с различными параметрами. В качестве меры потерь принята величина - отношение потерь в оптимальном фильт-

ре с чебышевской характеристикой к потерям в оптимальном 30

фильтре с максимально-плоской характеристикой при одном и том же заданном значении функции затухания.

На рис. 1.16 приведены результаты расчета потерь в зависимости от числа звеньев при заданном затухании 70 дБ. В качестве меры потерь принято отношение потерь в фильтре при данном числе звеньев к потерям в фильт- ± ре с максимально-плоской ха- j г рактеристикой с оптимальным числом звеньев.

Вышеприведенное позволяет сделать следующие выводы:

1. Уменьшение числа звеньев фильтра относительно оптимального приводит к значительному увеличению потерь.

2. При увеличении числа звеньев фильтра относительно оптимального потери возрастают незначительно.

3. Изменение количества звеньев от оптимального на од-но-два звена практически не сказывается на величине потерь.

4. При числе звеньев, близком к оптимальному, потери в фильтрах с максимально-плоской и чебышевской характеристиками отличаются не более чем на 20%. При этом для малых значений Л.(Л<0,5) потери во втором случае будут меньшими.

5. Оптимальное число звеньев у фильтра с чебышевской характеристикой меньше, чем у фильтра с максимально-плоской характеристикой. Однако оптимальное число звеньев По в том и другом случае можно определять по ф-ле 1.41.

6. При заданных значениях полосы пропускания и затухания в полосе заграждения потери в фильтрах независимо от их типа приблизительно одинаковы, хотя число звеньев у фильтра с чебышевской характеристикой меньше.

1.5. РАСЧЕЛ ФАЗОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

При передаче большого количества информации в системах связи возникают искажения сигнала, вызванные нелинейностью фазовых характеристик элементов связи, в частности фильтров, а следовательно, разным временем прохождения через фильтры различных спектральных компонент передаваемого сигнала. Величина, характеризующая нелинейность фазовой характеристики, называется временем группового запаздывания сигнала т. Требования к не-

О 8 12 16 Рис. 1.16. Зависимость потерь в фильтре от числа звеньев:

максимально-плоской харак-1Й, ха-с чебы-

/ - фильтр см .

теристикой; г -фильтр с чебышевской, ха

рактеристикой h-0,1; 3 -фильтр шевской характеристикой h-1



равномерности времени группового запаздывания сигнала Дт особенно существенны в линиях, использующих частотную модуляцию. Так, например, для современных высококачественных радиорелейных линий желательно иметь Дт<10- с. Поэтому наряду с требованиями к амплитудной характеристике фильтра . весьма часто предъявляются требования к фазовой характеристике фильтра в полосе пропускания. Как правило, требуется сведение фазовых искажений к минимально допустимой величине. Как известно, групповое время запаздывания сигнала

ф((0)

(1.63)

где ф({о) - фазо-частотная характеристика фильтра.

При вычислении т можно воспользоваться формулами или таблицами для ф(со) и т(ш), приведенными в некоторых работах [1, 3]. Однако эти формулы громоздки, численное или графическое дифференцирование, в особенности при вычислении производных высших порядков, неточно. Поэтому для вычисления неравномерности группового времени запаздывания сигнала воспользуемся разложением Ат в ряд относительно резонансной частоты о

At =

d со da

A(o-f-(в= 1о 2

I d%

l<0=(Oo

!в=й)о 2 da?

(m-1)! dffl 1(0=0)0

(Дсо)

u)=(Bo m-1

(A<o)* +

(1.64)

/n=2, 3, 4,

В зависимости от показателя степени Дсо (расстройка от резонансной частоты) можно определить линейную, квадратичную и т. д. неравномерности группового времени запаздывания.

Чтобы вычислить коэффициенты ряда (1.64), необходимо записать матрицу рассеяния [S], которая характеризует любой фильтр

Sii Si2

-коэффициент отражения; Si2 - коэффициент прохождения, являющийся функцией безразмерной расстройки X:

IS] =

(1.65)

(1.66)

Запишем коэффициент прохождения в показательной форме

Sl,= S e (1.67)

Введем новую комплексную переменную In5i2-размерной расстройки:

-функцию без-(1.68)

Как видно из ф-лы (1.68), вещественная часть lnSi2 определяет амплитудную характеристику фильтра, мнимая - фазовую характеристику. С учетом (1.66) имеем:

dW I о/ dX

Разложим ln5i2 в ряд, тогда мнимая часть этого ряда совпадет с рядом (1.64). При нулевой расстройке (Х=0) определяются производные от \nSio. Коэффициент передачи по мощности \Si2\ может быть представлен в виде рациональной дроби:

=. (170)

Числитель и знаменатель рациональной дроби можно разложить на множители:

312 - =

Sl2 Г =

(1.71)

где звездочка обозначает комплексное сопряжение; корни числителя обозначены через Xs, корни знаменателя через Xh-

Корни числителя X соответствуют комплексным частотам антирезонанса, при которых 5i2=0, т. е. вся энергия полностью отражается. Корни знаменателя (полюса S,2) соответствуют собственным затухающим /колебаниям в резонаторах фильтра. Рассмотрим полосовой фильтр без антирезонансов.

В этом случае

(-х,)(х-х1)

(1.72)

где п -- число звеньев фильтра

А= 1

/Л>о,

где А - величина постоянная.

2-150

(1.73)



1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39