Главная
>
Фильтры гармоник отражательнопоглащающие . 2г-1 Здесь Or~sm-я, n - число Y = h- , p=2ar sh - ,h-неравномер-2n h для четных номеров звеньев звеньев; = + sin ность в полосе пропускания (по напряжению); Qj - добротность лервого звена: ai fo У 2Л/1 (1.45) Вычисление SQr в общем виде ввиду сложности выражений (1.43) и (1.44) затруднено. Однако если представить искомую сумму в виде 2Qr=<?iS , то оказывается, что сумма \] - являет- Qi ш Qi ся сравнительно простой функцией от р и п при пЗ. Вид этой функции If (р. rt)= - был определен на основе анали- 7 ,6 5 А 3
la табулированных значений чебышевско-го нормализованного фильтра [18] для значений h до единицы- (что соответствует допустимым провалам в полосе прозрачности в 3 дБ). На рис. 1.15 приведена зависимость 1)(р, и) от п при различных h. Как видим, эта функция при п~Ъ хорошо аппроксимируется выражением г)(Р rt) = (i-l-trt. (1.46) 3 5 6 7 в 9П где fi и т являются функциями рис достаточной точностью определяются выражениями: (1.47) (1.48) ц = 0,726 -0,451 р; т = 0,356 -\- 0,235р. Рис. 1.15. Зависимость у пбпячпм , функции й фильтра с ООраЗОМ, SQ, = Qi(n-]-trt). чебышевской характеристикой от числа звеньев (1.49) ;Преобразуем теперь выражение (1.46) так, чтобы выразить Qj через заданное значение функции рабочего затухания --Для фильт- ра с чебышевской характеристикой при больших расстройках от резонансной частоты (1.50) Для наших расчётов воспользуемся приближенным значением полинома . (2Х) 2 справедливым при Х>2. Из (1.50) с учетом (1.51) \ Л / Jo fo 1 2Д/п 2Д/з 2 Г . Ро \ 1 с учетом (1.45) и (1.53) выражение (1.49) запишем в виде SO = fo Л- Y 2Д/з 2 (Ц + ТП). (1.51) (1.52) (1.53) (1.54) Найдем, как и в предыдущем случае, оптимальное значение ло. Мри дифференцировании можно положить = f-- Тогда 2Р 2Д/з е( ) = / 4 \-!- (Ц + trt); e(rt) = -(fX + Trt) Приравняв выражение (1.57) нулю, получим квадратное решив которое, определим величину по: /?= 1п- (1.55) (1.56) (1.57) уравнение (1.58) (1.59) (1.60) Сравним потери в двух фильтрах с максимально-плоской и чебышевской характеристиками. Пусть требуется реализовать фильтр со следующими параметрами: затухание при расстройке JSitai/fa, fie. jo8. допустимая неравномерность в полосе пропускания А=0,1. Расчет показывает, что число звеньев фильтра с максимально-плоской характеристикой, необходимое для обеспечения заданных требований, равно 1<1, а фильтра с чебышевской характеристикой 7. Потери в фильтре с максимально-плоской частотной характеристикой, вычисленные по ф-лам (1.25), (1.37), (1.38), будут: Уо /3 Потери в фильтре с чебышевской частотной характеристикой вычисленные по ф-ле (1.25), с учетом (1.47), (1.39), (1.54) составляют 8,69 Jo. Таблица 1.1 Qo 2Д/з 15.7, дБ. (1.62)
Как видно, потери в обоих фильтрах практически одинаковы, хотя число звеньев во втором случае значительно меньше. В табл 1.1 приведены данные об оптимальном числе звеньев для фильтров с различными параметрами. В качестве меры потерь принята величина - отношение потерь в оптимальном фильт- ре с чебышевской характеристикой к потерям в оптимальном 30 фильтре с максимально-плоской характеристикой при одном и том же заданном значении функции затухания. На рис. 1.16 приведены результаты расчета потерь в зависимости от числа звеньев при заданном затухании 70 дБ. В качестве меры потерь принято отношение потерь в фильтре при данном числе звеньев к потерям в фильт- ± ре с максимально-плоской ха- j г рактеристикой с оптимальным числом звеньев. Вышеприведенное позволяет сделать следующие выводы: 1. Уменьшение числа звеньев фильтра относительно оптимального приводит к значительному увеличению потерь. 2. При увеличении числа звеньев фильтра относительно оптимального потери возрастают незначительно. 3. Изменение количества звеньев от оптимального на од-но-два звена практически не сказывается на величине потерь. 4. При числе звеньев, близком к оптимальному, потери в фильтрах с максимально-плоской и чебышевской характеристиками отличаются не более чем на 20%. При этом для малых значений Л.(Л<0,5) потери во втором случае будут меньшими. 5. Оптимальное число звеньев у фильтра с чебышевской характеристикой меньше, чем у фильтра с максимально-плоской характеристикой. Однако оптимальное число звеньев По в том и другом случае можно определять по ф-ле 1.41. 6. При заданных значениях полосы пропускания и затухания в полосе заграждения потери в фильтрах независимо от их типа приблизительно одинаковы, хотя число звеньев у фильтра с чебышевской характеристикой меньше. 1.5. РАСЧЕЛ ФАЗОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ При передаче большого количества информации в системах связи возникают искажения сигнала, вызванные нелинейностью фазовых характеристик элементов связи, в частности фильтров, а следовательно, разным временем прохождения через фильтры различных спектральных компонент передаваемого сигнала. Величина, характеризующая нелинейность фазовой характеристики, называется временем группового запаздывания сигнала т. Требования к не- О 8 12 16 Рис. 1.16. Зависимость потерь в фильтре от числа звеньев: максимально-плоской харак-1Й, ха-с чебы- / - фильтр см . теристикой; г -фильтр с чебышевской, ха рактеристикой h-0,1; 3 -фильтр шевской характеристикой h-1 равномерности времени группового запаздывания сигнала Дт особенно существенны в линиях, использующих частотную модуляцию. Так, например, для современных высококачественных радиорелейных линий желательно иметь Дт<10- с. Поэтому наряду с требованиями к амплитудной характеристике фильтра . весьма часто предъявляются требования к фазовой характеристике фильтра в полосе пропускания. Как правило, требуется сведение фазовых искажений к минимально допустимой величине. Как известно, групповое время запаздывания сигнала ф((0) (1.63) где ф({о) - фазо-частотная характеристика фильтра. При вычислении т можно воспользоваться формулами или таблицами для ф(со) и т(ш), приведенными в некоторых работах [1, 3]. Однако эти формулы громоздки, численное или графическое дифференцирование, в особенности при вычислении производных высших порядков, неточно. Поэтому для вычисления неравномерности группового времени запаздывания сигнала воспользуемся разложением Ат в ряд относительно резонансной частоты о At = d со da A(o-f-(в= 1о 2 I d% l<0=(Oo !в=й)о 2 da? (m-1)! dffl 1(0=0)0 (Дсо) u)=(Bo m-1 (A<o)* + (1.64) /n=2, 3, 4, В зависимости от показателя степени Дсо (расстройка от резонансной частоты) можно определить линейную, квадратичную и т. д. неравномерности группового времени запаздывания. Чтобы вычислить коэффициенты ряда (1.64), необходимо записать матрицу рассеяния [S], которая характеризует любой фильтр Sii Si2 -коэффициент отражения; Si2 - коэффициент прохождения, являющийся функцией безразмерной расстройки X: IS] = (1.65) (1.66) Запишем коэффициент прохождения в показательной форме Sl,= S e (1.67) Введем новую комплексную переменную In5i2-размерной расстройки: -функцию без-(1.68) Как видно из ф-лы (1.68), вещественная часть lnSi2 определяет амплитудную характеристику фильтра, мнимая - фазовую характеристику. С учетом (1.66) имеем: dW I о/ dX Разложим ln5i2 в ряд, тогда мнимая часть этого ряда совпадет с рядом (1.64). При нулевой расстройке (Х=0) определяются производные от \nSio. Коэффициент передачи по мощности \Si2\ может быть представлен в виде рациональной дроби: =. (170) Числитель и знаменатель рациональной дроби можно разложить на множители: 312 - = Sl2 Г = (1.71) где звездочка обозначает комплексное сопряжение; корни числителя обозначены через Xs, корни знаменателя через Xh- Корни числителя X соответствуют комплексным частотам антирезонанса, при которых 5i2=0, т. е. вся энергия полностью отражается. Корни знаменателя (полюса S,2) соответствуют собственным затухающим /колебаниям в резонаторах фильтра. Рассмотрим полосовой фильтр без антирезонансов. В этом случае (-х,)(х-х1) (1.72) где п -- число звеньев фильтра А= 1 /Л>о, где А - величина постоянная. 2-150 (1.73)
|