Логарифмируя, получим

lnSi2 = -\n(X-Xk) + \nA,

что для производной порядка т. дает

d dX

In S, =

(-1Г(т-1)!

При нулевой расстройке, когда Х = 0, получим

(1.74)

(1.75)

(1.76)

Записывая комплексное число в показательной форме, имеем

(m- 1)! -imgft

(1.77)

* = I е

Хотя аналитическое суммирование возможно, значительно удобнее использовать векторные диаграммы, так как они более наглядны.. Кроме того, графические построения выполняются легче и быстрее, чем аналитические действия с комплексными числами. Поэтому целесообразно производить графическое построение даже в тех случаях, когда возможно аналитическое суммирование. Векторные диаграммы дают возможность исследовать влияние сдвига корней на характеристику фильтра из-за неточности настройки, из-за ошибки в добротностях.

Графическое построение производной т-го порядка от lnSi2 (см. ф-лу (1.77)] выполняются в следующей последовательности:

а) численное значение а умножается на порядок производной

б) от полученного результата отбрасывается целое число 2 л;

в) вычисляется величина -- ;

на комплексной плоскости строится окружность с радиусом

д) наиденные в пункте б углы отсчитываются против часовой

1 т

стрелки, а на лучах откладываются значения -

В качестве примера рассмотрим методику расчета фазовых характеристик фильтра с максимально-плоской характеристикой с помощью графического построения.

Частотная характеристика такого фильтра выражается через коэффициент матрицы рассеяния следующим образом:

где п - число звеньев.

Все полюсы знаменателя расположены на единичной полуокружности и являются корнями степени 2/г минус единица:

Так как jAhll, то все корни расположены на единичной окружности и прн геометрических построенияхдостаточен только пересчет углов.

Для производных при нулевой расстройке имеем

ln S.

= (ш-1)!2е~ (1.78)

х= о k=l

На рис. 1.17 приведен пример графического построения для четы-рехзвенного максимально-плоского фильтра. Направление суммарного вектора вдоль мнимой оси определяет фазо-частотную харак-

Расшошие корней i

1-я производная

Z-я производная i

J-я щоизвовная i

4-я производная i

5-я производная

Рис. 1.17. Графическое вычисление производных для четырехаввн-ного фильтра с максимально-плоской частотной характеристикой

теристику, вдоль вещественной оси - амплитудно-частотную. Все четные производные фазы по X равны нулю. Численные значения

производных, деленные на (т-1)[--- 7). найденные графи-

\ (ffj - 1)! dл J

чески, приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Приведенные в таблице величины непосредственно входят в ф-лу (1.64) для группового времени запаздывания. С помощью таблицы легко вычислить групповое время запаздывания, электрическую длину фильтра /, неравномерность группового времени запаздывания различных порядков.

Для электрической длины фильтра имеем

Шо [dX) л \dx)

(1.79)

с - скорость света в свободном пространстве; К - длина волны в свободном пространстве.

Величина - определяется в первой строке табл. 1.2. dX

Неравномерность группового времени запаздывания в полосе частот (квадратичный член) определяется третьей производной:

2 йшз /d Ф \ 1 ,dX / Дш

2 dX3 Дш

(1.80) dX

где Хщкс - величина X, соответствующая краю полосы определяется в третьей строке таблицы.

Аналогично может быть вычислена и неравномерность группового времени запаздывания высших порядков, например:

хр,

2 VdX j

(1.81)

Из ф-лы (1.80) видно, что при одинаковой полосе и равных X и п неравномерность группового времени запаздывания Дт не зависит от частоты настройки шо.

На рис. 1.18 приведены кривые безразмерного группового времени запаздывания d<f/dX для однозвенного, двухзвенного и трех-звенного фильтров с максимально-плоской частотной характеристикой.

Чтобы выразить т в секундах, безразмерное время следует умножить на 2 Q -. Удобнее этот множитель записать в виде

беарази

(1.82)

Хмакс/А(о, тогда Дш

Из графиков и таблицы видно, что при заданной добротности электрическая длина и неравномерность группового времени запаздывания сигнала увеличиваются при увеличении числа звеньев. -о Аналогичным образом могут быть определены групповое время запаздывания, электрич€СК1ая дли-на фильтра неравномерность jg группового времени запаздыва- ния и т. д. для фильтров с лю- бой формой частотной характе- 0,8 ристики, для чего необходимо Q/f функцию вносимого затухания

, выражающую частотную -

характеристику фильтра, пред- Рис, 1.18. Зависимость безразмерного

ставить в виде рациональной группового времени запаздывания от

.. /Г- , безразмерной расстройки для филь-

дроби, У которой числитель и зна- с максимально плоской харахт-

менатель разложены на две ком- ристикой;

ПЛекСНО-СОПрЯЖеННЫХ СОМНОЖИ- / - однозвенный фильтр; г - двухзвенный

- фильтр; 3 - трехзвеняый фильтр I ел Я.

1.6. О точности ИЗГОТОВЛЕНИЯ и НАСТРОЙКИ МНОГОЗВЕННЫХ ФИЛЬТРОВ С ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫМИ СВЯЗЯМИ

Постановка задачи

Электрические характеристики фильтров свч и, в первую очередь, согласование в полосе пропускания существенно зависят от правильного выбора допусков на изготовление их элементов и от точности настройки звеньев фильтра.

Влияние неточности изготовления элементов фильтра проявляется через отклонение нагруженной добротности звеньев фильтра

от расчетной и через неидеальную настройку звеньев фильтра, при которой в момент резонанса коэффициент бегущей волны оказывается меньше единицы. Неидеальная настройка получается потому, что проводимости реактивных элементов, из которых образовано звено фильтра, оказываются неравными друг другу.

При отклонении добротности звеньев от расчетной и при неточной настройке звеньев возникают нескомпенсированные реактивные проводимости, а при неидеальной настройке - нескомпенсированные активные проводимости, которые и приводят к искажению расчетной характеристики фильтра по согласованию в полосе пропускания.

Таким образом, решение задачи об установлении связи между искажением характеристики и неточностью изготовления и настройки включает в себя два этапа:

1. Определение зависимости согласования от изменения добротности, от неидеальности и неточности настройки.

2. Установление зависимости добротности, пеидеальности и неточности настройки от геометрических размеров фильтра.

Решение этой задачи базируется на применении метода математической статистики, развитого применительно к фильтрам А. И. Соболевым.

Известно, что при большинстве технологических процессов имеет место нормальное распределение производственных погрешностей в пределах поля допуска. Поэтому можно считать, что распределение отклонений размеров (параметров) и распределение отклонений коэффициентов отражений, обусловленных ими, подчиняется закону Гаусса. Тогда среднеквадратичное значение коэффициента отражения фильтра, обусловленное отклонением одного (р-го) размера или параметра:,

N - число размеров или параметров, определяющих согласование фильтра (число источников погрешностей).

В этом случае (с вероятностью 0,997) максимальное значение отклонения коэффициента отражения фильтра:

ДГф = ЗДГфо; (1.84)

ДГр = ЗАГр .

Приведенные выражения можно использовать двояко. С одной стороны, по допускам на размеры элементов фильтра можно определить максимальное значение коэффициента отражения ДГрм, обусловленное данным допуском. Затем по нему определить ДГра и по выражениям (1.83) и (1.84) рассчитать максимальное значение отклонения коэффициента отражения ЛГфм-

С другой стороны, можно принять, что все независимые источники погрешностей создают одинаковую величину коэффициента от-

Ъ. \

ражения, и по нему ра1ооч1итать допуски на размеры элемвитов фильтра. При STOM из ф-л ((1.83) и (1.84) следует, что максимально допустимое отклонение коэффициента отражения, определяющее допуск, составит

Для каждой конкретной конструкции допуск определяется по выражениям, связывающим его с коэффициентом отражения.

Методика расчета

Рассмотрим для примера пятизвенный волноводный фильтр без потерь, состоящий из пяти одинаковых индуктивных звеньев, разделенных четвертьволновыми связями. Каждое звено образовано отрез.ками волновода, ограниченными двумя рядами из трех индуктивных стержней (рис. 1.19). Примем для упрощения, что про-

Рис. 1.19. Эскиз индуктивного звеяа фильтра

водимость каждого стержня ряда составляет в среднем одну треть от Общей проводимости ряда. Диалогичное рассмотрение отримени-мо к фильтрам с любым числом звеньев, а также к фильтрам других конструкций (коаксиальным, волноводным из индуктивно-емкостных звеньев).

Зависимость согласования от отклонения добротности звеньев от расчетной. Добротности отдельных звеньев фильтра могут отличаться от расчетных из-за систематических и случайных погрешностей изготовления. В первом случае, например, при отклонении диаметров всех стержней звена от номинального в одну сторону число возможных источников погрешности (Л) совпадает с числом звеньев. Во втором случае, например, когда все реактивности звена фильтра (шесть индуктивных стержней) выполнены в пределах поля допуска и имеет место нормальное распределение производственных погрешностей, добротность каждого звена фильтра будет определяться шестью независимыми диаметрами стержней и относительным положением четырех стержней, ближайших к боковым стенкам волновода (положение средних стержней, находящихся на