Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [ 100 ] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

-р- У У - -2а { dy dz du dz

dy\

\du du}

dz~ \ du du du)

Уравнение приобретает вид

(уг зу/ 2у/)4. е е- у - у = ке°

у -ЗуЧ-Зу -у==ие .

6.2.10. Интегрирование при помощи степенных рядов. Ограничимся случаем линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Весьма простая идея решения этого уравнения состоит в том, чтобы попытаться написать его общий или частный интеграл в виде обобщенного степенного ряда с неопределенными коэффициентами:

у.= X2 х- (10)

Пример. Решим уравнение

L v--l z

dz \ -z dz

Очевидно, что y, = e и Уг = - линейно независимые частные интегралы однородного уравнения. Нужно найти такие две функции v,iz) и 2(2), чтобы

t/jg -t- 2 = 1 - г.

откуда

Частный интеграл заданного неоднородного уравнения будет

l+z-zK

Следовательно, общий интеграл

y = Cie + C2Z-bI + z2.

6.2.9. Уравнение Эйлера. Это уравнение вида

+ ... 4-Л 1г- + Л у = /().

где коэффициенты А - постоянные. Оно является частным случаем уравнения, однородного относительно z и dz, рассмотренного в п. 6.2.4.

Уравнение Эйлера преобразуется в линейное уравнение с Постоянными коэффициентами путем замены независимой переменной

Пример.

z-A-z-- - v~zlnz

Положим г = 6 , Имеем



Л->со

X- Иш

Л->со

ГХ-1 , \х

= Иш Хх = оо.

т. е. полученный ряд расходится при любом х. Это означает, что рассматриваемый способ снова оказывается несостоятельным или, точнее, что дифференциальное уравнение не имеет решения в виде обобщенного степенного ряда. Совершенно очевидно, что эти неудачи связаны с особенностями функций /i(x) и /гСх) при х = 0. В приведенных примерах точка х = 0 представляет собой полюс функций /j(x) и /2 (л:). Однако наличие полюса у функций fi(x) и /2(л;) само по себе не исключает возможности успешного

Подставим этот ряд в дифференциальное уравнение, приведем подобные члены и приравняем нулю коэффициенты при различных степенях х. При этом мы получим бесконечную систему алгебраических уравнений, связывающих показатель степени v и коэффициенты ау(Х - 0, 1, 2, ...). Первые (одно или два) уравнения позволяют определить v. Уравнение, служащее для вычисления v, называется определяющим уравнением. Остальные уравнения составляют систему рекуррентных соотнощений, позволяющих последовательно вычислять коэффициенты разложения. Каждому корню определяющего уравнения соответствует свое разложение в ряд вида (10), удовлетворяющее исходному дифференциальному уравнению.

Рассмотрим, например, уравнение

у + Х 0.

Попробуем найти его рещение в виде ряда (10). Подставим этот ряд в дифференциальное уравнение и приравняем нулю коэффициенты при х степени v-j-X - 2. Получим рекуррентное соотношение

х( + >)( + >-1)+ х+1 = 0 (X=zO. 1, 2. ...).

Уравнение, соответствующее коэффициенту при х с наименьшей степенью, равной v - 3, дает

йо = 0.

Из рекуррентных соотношений, полученных выше, последовательно находим,

что все коэффициенты с .....а, равны нулю. Это означает, что

рассмотренное дифференциальное уравнение не имеет решения в виде обобщенного степенного ряда. Возьмем другой пример:

У + = 0.

Подстановка того же ряда дает (если приравнять нулю коэффициент при X в степени v -- X - 2) следующее рекуррентное соотношение:

flx+>)( + >-l) + %+i( + >+l)=-0 (> = 0. 1. 2, ...).

Коэффициент при х с наименьшей степенью, равной v - 3, приводит к определяющему уравнению

Шо = 0.

Единственное подходящее решение - это v = 0; тогда неопределенно. Рекуррентное соотношение принимает вид

X(X-l) + c,i(X--l) = 0.

Остается проверить сходимость получающегося таким способом степенного ряда. Имеем



S(-ir ( X

С точностью до постоянного множителя это ряд для бесселевой функции У,(л:) (см. п. 7.5.1).

Второе решение: N = - 1, Co=0, Cj неопределенно. Обозначая X = 2г--1, получим ряд того же типа, в котором роль постоянного множителя играет а, *).

Класс уравнений, решаемых с помощью обобщенных степенных рядов, определяется теоремой Фукса. Приведем ее без доказательства. Если дифференциальное уравнение

/+/i(-)/+/2()i = o (11)

таково, что f\{x) и /2(л:) имеют полюсы при х = х, то можно найти решение в виде сходящегося обобщенного степенного ряда

у (л:) = {х~ лго) 2 ai - при условии, что произведения

(X - X)f,(x), {X - Xoff2(x)

остаются конечными при х = Xq.

Ясно, что эти условия не выполняются для дифференциальных уравнений

У + - = 0, / + =0,

но выполняются для уравнения

Отметим, что при помощи замены переменной можно всегда перенести полюс в точку х - 0. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (11) и предположим, что оно удовлетворяет условиям Фукса при x = 0. Тогда

*) Отметим, что и это решение, с точностью до постоянного множителя, равно функции / (х). Второе, линейно независимое решение рассматриваемого уравнения представляет сумму обобщенного степенного ряда и 1пх (см. п. 7.5.3).

применения рассматриваемого метода. Например, уравнение

/ + -;У + 3 = 0 .

может быть решено рассмотренным методом, т. е. оно имеет решение в виде ряда (10). Действительно, подстановка ряда (10), если приравнять нулю коэффициент при х в степени v-(-X - 2, дает

(X+v)2c, + c, 2 = 0 (Х=0, 1, 2. а 2а ,=0).

Это рекуррентное соотношение при Х = 0 и 1 приводит к двум определяющим уравнениям:

v2co = 0, (V+ 1)21 = 0.

Первое решение: \ = О, неопределенно, а, = 0. В данном случае, обозначая Х = 2/-, получим ряд, сходящийся при любом х:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [ 100 ] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251