Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу -р- У У - -2а { dy dz du dz dy\ \du du} dz~ \ du du du) Уравнение приобретает вид (уг зу/ 2у/)4. е е- у - у = ке° у -ЗуЧ-Зу -у==ие . 6.2.10. Интегрирование при помощи степенных рядов. Ограничимся случаем линейных дифференциальных уравнений второго порядка Весьма простая идея решения этого уравнения состоит в том, чтобы попытаться написать его общий или частный интеграл в виде обобщенного степенного ряда с неопределенными коэффициентами: у.= X2 х- (10) Пример. Решим уравнение L v--l z dz \ -z dz Очевидно, что y, = e и Уг = - линейно независимые частные интегралы однородного уравнения. Нужно найти такие две функции v,iz) и 2(2), чтобы t/jg -t- 2 = 1 - г. откуда Частный интеграл заданного неоднородного уравнения будет l+z-zK Следовательно, общий интеграл y = Cie + C2Z-bI + z2. 6.2.9. Уравнение Эйлера. Это уравнение вида + ... 4-Л 1г- + Л у = /(). где коэффициенты А - постоянные. Оно является частным случаем уравнения, однородного относительно z и dz, рассмотренного в п. 6.2.4. Уравнение Эйлера преобразуется в линейное уравнение с Постоянными коэффициентами путем замены независимой переменной Пример. z-A-z-- - v~zlnz Положим г = 6 , Имеем Л->со X- Иш Л->со ГХ-1 , \х = Иш Хх = оо. т. е. полученный ряд расходится при любом х. Это означает, что рассматриваемый способ снова оказывается несостоятельным или, точнее, что дифференциальное уравнение не имеет решения в виде обобщенного степенного ряда. Совершенно очевидно, что эти неудачи связаны с особенностями функций /i(x) и /гСх) при х = 0. В приведенных примерах точка х = 0 представляет собой полюс функций /j(x) и /2 (л:). Однако наличие полюса у функций fi(x) и /2(л;) само по себе не исключает возможности успешного Подставим этот ряд в дифференциальное уравнение, приведем подобные члены и приравняем нулю коэффициенты при различных степенях х. При этом мы получим бесконечную систему алгебраических уравнений, связывающих показатель степени v и коэффициенты ау(Х - 0, 1, 2, ...). Первые (одно или два) уравнения позволяют определить v. Уравнение, служащее для вычисления v, называется определяющим уравнением. Остальные уравнения составляют систему рекуррентных соотнощений, позволяющих последовательно вычислять коэффициенты разложения. Каждому корню определяющего уравнения соответствует свое разложение в ряд вида (10), удовлетворяющее исходному дифференциальному уравнению. Рассмотрим, например, уравнение у + Х 0. Попробуем найти его рещение в виде ряда (10). Подставим этот ряд в дифференциальное уравнение и приравняем нулю коэффициенты при х степени v-j-X - 2. Получим рекуррентное соотношение х( + >)( + >-1)+ х+1 = 0 (X=zO. 1, 2. ...). Уравнение, соответствующее коэффициенту при х с наименьшей степенью, равной v - 3, дает йо = 0. Из рекуррентных соотношений, полученных выше, последовательно находим, что все коэффициенты с .....а, равны нулю. Это означает, что рассмотренное дифференциальное уравнение не имеет решения в виде обобщенного степенного ряда. Возьмем другой пример: У + = 0. Подстановка того же ряда дает (если приравнять нулю коэффициент при X в степени v -- X - 2) следующее рекуррентное соотношение: flx+>)( + >-l) + %+i( + >+l)=-0 (> = 0. 1. 2, ...). Коэффициент при х с наименьшей степенью, равной v - 3, приводит к определяющему уравнению Шо = 0. Единственное подходящее решение - это v = 0; тогда неопределенно. Рекуррентное соотношение принимает вид X(X-l) + c,i(X--l) = 0. Остается проверить сходимость получающегося таким способом степенного ряда. Имеем S(-ir ( X С точностью до постоянного множителя это ряд для бесселевой функции У,(л:) (см. п. 7.5.1). Второе решение: N = - 1, Co=0, Cj неопределенно. Обозначая X = 2г--1, получим ряд того же типа, в котором роль постоянного множителя играет а, *). Класс уравнений, решаемых с помощью обобщенных степенных рядов, определяется теоремой Фукса. Приведем ее без доказательства. Если дифференциальное уравнение /+/i(-)/+/2()i = o (11) таково, что f\{x) и /2(л:) имеют полюсы при х = х, то можно найти решение в виде сходящегося обобщенного степенного ряда у (л:) = {х~ лго) 2 ai - при условии, что произведения (X - X)f,(x), {X - Xoff2(x) остаются конечными при х = Xq. Ясно, что эти условия не выполняются для дифференциальных уравнений У + - = 0, / + =0, но выполняются для уравнения Отметим, что при помощи замены переменной можно всегда перенести полюс в точку х - 0. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (11) и предположим, что оно удовлетворяет условиям Фукса при x = 0. Тогда *) Отметим, что и это решение, с точностью до постоянного множителя, равно функции / (х). Второе, линейно независимое решение рассматриваемого уравнения представляет сумму обобщенного степенного ряда и 1пх (см. п. 7.5.3). применения рассматриваемого метода. Например, уравнение / + -;У + 3 = 0 . может быть решено рассмотренным методом, т. е. оно имеет решение в виде ряда (10). Действительно, подстановка ряда (10), если приравнять нулю коэффициент при х в степени v-(-X - 2, дает (X+v)2c, + c, 2 = 0 (Х=0, 1, 2. а 2а ,=0). Это рекуррентное соотношение при Х = 0 и 1 приводит к двум определяющим уравнениям: v2co = 0, (V+ 1)21 = 0. Первое решение: \ = О, неопределенно, а, = 0. В данном случае, обозначая Х = 2/-, получим ряд, сходящийся при любом х:
|