Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [ 101 ] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

Коэффициенты р, q, не равны нулю одновременно. В противном случае /j(x) и /гСх) не имели бы при х = 0 особой точки, и определение общего решения уравнения в виде степенного ряда не представляло бы никакого затруднения.

Будем искать решение уравнения (11) в виде (10). Обозначим через D(v) определяющее уравнение:

D(v)=v(v-l)+puv + ,7u = 0.

Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях х, получим:

х-2: CoD(v)=:rO, -

х-ь fliD(v+I)4-Co(vpi + ,7,) = 0,

хк 20( + 2) + i[(v+l)Pi + .7i]-bCo(vp2 + <72) = 0,

х+-г. c£)(v X) + fl ,[(vH-X-l)pj + 9,]+ ... 4-flo(vp,H-9j = 0

Из определяющего уравнения находим для v два значения: Vj и Vg. Пред-лоложим, что они отличны друг от друга и разность между ними,- нецелое число. В этом случае можно последовательно вычислить два ряда коэффициентов ау , соответствующих каждому корню определяющего уравнения. Таким образом, мы получим два обобщенных степенных ряда типа (10). Эти ряды представляют собой линейно независимые решения уравнения (11). .Коэффициент Ср, входящий множителем во все члены рядов, остается произвольным, т. е. каждое рещение определено с точностью до постоянного, множителя. ОЗщий интеграл уравнения получается в виде линейной комбинации этих двух решений.

Положим, что определяющее уравнение имеет двойной корень. В этом случае имеется только одно решение типа (10). Второе, линейно независимое с первым решение придется искать с помощью других искусственных приемов (см. п. 6.2.11). Определив его, мы сможем получить общий интеграл уравнения (И).

Положим, что определяющее уравнение имеет два корня, отличающихся друг от друга на целое число, т. е. ...

Vg = Vj -- п (rt целре положительное число).

Тогда нетрудно вычислить коэффициенты ряда, соответствующего корню \, так как D(\.2-h !) ( 2 + 2), ... отличны от нуля. Для ряда, соответствую- щего корню Vj, дело обстоит значительно хуже. Здесь процесс вычисления коэффициентов обрывается на ( - 1)-м номере. Действительно, уравнение, определяющее коэффициент а как функцию а, с,.....n-v имеет вид

0(vi+ )+c i[pi( +Vi-l)4-,7i]-- ... +Co(p Vi + ,7 )=:0.

Коэффициент при c равен нулю, так как Vj-f- = v2 - корень уравнения D(y)~0. Рассматриваемое уравнение сводится к равенству

функции и /зСлг) можно представить в виде:



1 i x 1 (°+1)-Р(Р + 1) >. I .

1.7+ 1.2.-г(т-Ы) + +

т(т+1)

а(а + 1) ... (а+-1)-р(Г + 1)

>!7(Т+1) ... (т + -1) X - ...

Этот ряд называется гипергеометрическим рядом Гаусса. Он сходится абсолютно для любых а, Y при jjcj < 1, а также при jcj = l, если 7 - а - р > 0. Классическое обозначение такого ряда

З= и(а. р. Т; л;).

причем F(a, р, -у; х) называется гипергеометрической функцией Гаусса. 2. Рассмотрим корень v=l - -у. Рекуррентное соотношение будет

(o.--y--X-HI)(3--t + A-f 1)

(Х4-1)(Х + 2-,) 1 .

Если это линейное соотношение не удовлетворяется вычисленными ранее

коэффициентами ..... п-г и бывает в большинстве случаев, то

найти разложение в ряд типа (10), соответствующее корню Vj, невозможно, т. е. рассматриваемый способ не позволяет получить общий интеграл. Если же соотношение выполняется, то можно выразить все коэффициенты а ,. Gjj2 через й , который остается неопределенным. Это значит, что решение, соответствующее Mj, содержит два произвольных параметра: коэффициент Gq, входящий общим множителем в решение, и коэффициент й ,

от которого зависят члены ряда c +i, а +ч

Пример. Ги пергеометрический ряд. Рассмотрим уравнение

л; (л; - 1) у +1(1 + а + 3) X --f] уН-ару == О,

где параметры а, р, -у - постоянные величины. Для особых точек коэффициентов этого уравнения х = О и х = 1 условия Фукса выполняются.

Построим, например, решение уравнения в окрестности особой точки х~0. Полагаем

у = х 2

Приравняем нулю коэффициенты при х\ c,(v+A)(vH-A-l)~G .,(v+Л+I)(v+X)4. + G, (V+ X) (1+ а + р) - G, (V -1-Х I) - -U ар. = 0.

Члену с наименьшей степенью х, равной v-1, соответствует определяющее уравнение

Cov(v-1)-~йоП = 0.

т. е.

v(v+T-l) = 0.

Его корни: v=0. v=I--у. Будем предполагать, что 7 - не нуль и не целое число, т. е. рассматриваемое дифференциальное уравнение имеет два линейно независимых решения в виде обобщенного степенного ряда (10). 1. Рассмотрим корень v = 0. Рекуррентное соотношение дает

Отсюда получаем частное решение



arctgx = xF 1, -; - jcj.

В п. 7.6.14 мы увидим, что функции Лежандра также .чвл.чютс.ч частным случаем гипергеометрической функции. Нетрудно убедиться, что функция

F [и, -п, --- является решением дифференциального уравнения

Чебышева:

(1 - jc2) у - лгу + 2у = 0.

При п целом это уравнение допускает в качестве решения обрывающийся гипергеометрический ряд - полином -й степени. Он обозначается через T (jc) и называется полиномом Чебышева; с точностью до множителя., зависящего от п *),

( , пЦп-4) пНп~4){п-Щ

2! т- 41 x g, x ...

(п - четное).

X 31--* Н 5! 7]- +

( - нечетное).

6.2.11. Некоторые теоремы о свойствах решений линейного дифференциального уравнения второго порядка. Рассмотрим уравнение

/+У7,(л-) + у/2(х)=0, (11)

где fi(x) и /(х) - произвольные функции.

Пусть Ух и У2 - два линейно независимых решения (11). Подставим их в уравнение (И) и исключим /(х) из обоих уравнений. Имеем

УгУя - 2 У1 + (Уг - >2 i) /1 (л) = 0. Выражение в левой части представляет собой, с точностью до множителя 1/, (Л dj: производную произведения

(у;у2~у2уо-

Отсюда получаем соотношение, связывающее у, у, и их первые производные:

у;у, уу, = л.- -

*) Этот множитель определяется из условия 7 (1) = 1, которое равносильно требованию: коэффициент при х полинома Т (х) должен быть равен 2 .

Оно совпадает с предыдущим выражением, в котором параметры а. В, 7 заменены соответственно на а-T + l- Р - ТЧ - 2 - 7. Отсюда получаем второе, линейно независимое с первым решение

У2=йоЛ1-т£(а -у--1, р 7+1.2 --г; х).

и общее решение имеет вид

У = Луу + Вуз-

Отметим некоторые частные случаи гипергеометрической функции:

(l+Jc) = F(-/г, 1, 1; -JC).

1п(14-J) = J(I. 1. 2; ~х1

f 1 1 3 Л drcsmx - xF\Y 2 2 )



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [ 101 ] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251