откуда

y, = yjB + A f--Y

V уУ j

Эта формула позволяет по одному частному решению У2(х) найти второе, линейно независимое с первым решение

- (AWdx , -

I е > dx

2 ] -V-

Относительно корней решений уравнения (И) мы можем сформзлировать следующие три теоремы:

1. Пусть функция Ухх), не равная тождественно нулю, -решение уравнения (И), и корни yi(Jc) не являются полюсами /i(jc) и /(х). Тогда корни yi(jc) - простые.

В самом деле, пусть а - двойной корень yj(jc)=0. Тогда У](а)=г = у(а) = 0. В силу уравнения (11) и предположения теоремы обращается в нуль также и у (а). Последовательно дифференцируя уравнение (И) и подставляя затем значение х = а, получим, что

yi(a)==y;(a)= ... =у( )(а)== . . . = 0. Разложим у, (х) в ряд Тейлора в окрестности точки х = а. Имеем у(а + /1)=у(а) + ± у[(а) + -. . . ---уМ(а)- ...=0.

Следовательно, y,(jc) = 0. что противоречит предположению.

2. Два линейно независимых решения уравнения (И) не могут иметь общих корней.

Положим в уравнении (11) у - u(x)v(x). Тогда

г; (к + к/, + к/а) + г;(2 4-tt/i) + Л = 0.

Выберем и таким образом, чтобы коэффициент при v обратился в нуль. Имеем

2tt + tt/, = 0.

откуда

1 Г Mjodx

и = е

Уравнение (11) примет вид

t/ g{x)v=0. (12)

где*)

(JC) = Л (х) - i- Л (JC) -1 [/, (д;)р.

*) Функция g {х) называется инвариантом уравнения (11), так как все дифференциальные уравнения (11), решения которых отличаются множителем и{х), не равным нулю, приводятся к одному и тому же виду (12) (см. [3], стр. 243).

Разделив на у, найдем

У1У2 -У1У1 d У1 Л -f.Mdjc -

у1 dx У2 У .

Vi V2 Vi V2 V2

что противоречит предположению о линейной независимости v, и v- Следовательно, Vy{x) и vix) не имеют общих корней, и это справедливо также и для обоих линейно независимых решений (И)-

3. Нули двух линейно независимых решений уравнения (11) взаимно разделяют друг друга (теорема Штурма).

Из предыдущего вычисления имеем

У-Л2-V2V1

Отсюда

v\ v\ dx

IV2]

Положим, что a и - два последовательных корня (jc). Покажем, что внутри интервала (а, р) лежит корень V2{x). Предположим противное.

Тогда функция будет непрерывна при а jc Р и равна нулю на

V2 {X)

концах этого интервала, так как, согласно предыдущей теореме, числа аир

не будут корнями V2{x). Следовательно, \ =0. Но / -йг1 = 0не

12 (Х)л J vi

может быть равен нулю, так как - сохраняет в промежутке интегрирования

постоянный знак. Отсюда следует, что г 2(л;) должна обращаться в нуль внутри интервала (а, р). При этом V2{x) имеет внутри (а, р) только один корень. В противном случае, повторяя предыдущее рассуждение, но поменяв местами Vy и Ug, мы могли бы показать, что (Jc) обращается между двумя корнями V2{,x) в нуль. А это противоречит предположению, что а и р - последовательные корни Vy{X).

Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид

Корни функций f и у совпадают, так как

v = , ифО.

Пусть Vy и V2 - два линейно независимых решения (12) Имеем Отсюда находим

Если v,(x) и V2(x) обращаются в нуль при одном и том же значении Х - а, то постоянная С должна быть равна нулю. Отсюда получаем

т. е. -=- и - = const.

Имеем

du du , d u

di-D di--di = D -

Ж = (-§- + = (5 + Pi) .

S = (S + 5 + (D + p,f u,

S=eP.(0-h Р.Ги.

) Ниже используется символический метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Более подробно этот метод описан, например, в [1], стр. 114-122, или [4], стр. 117-124.

где Ау А,.....А-коэффициенты, не зависяшие от у и Можно получить общее решение уравнения (13), отыскав общий интеграл соответствующего однородного уравнения

А- + Л,--f+...+A,y=0 (14)

и прибавив к этому общему интегралу частный интеграл неоднородного уравнения (13).

6.2.12. Интегрирование однородного дифференциального уравнения

Положим

у - еРК

Получим уравнение

(Ло/> + А,р - + ... + Л J = 0. .

Оно удовлетворяется, если р есть корень алгебраического уравнения

/(р)ЛоР + Л1Р -1+ ... +Л = 0, (15)

которое называется характеристическим.

Пусть р jf?2. Рп - корни уравнения (15). Предположим сначала, то они все различные. Общий интеграл в этом случае будет

yre-C2e- ... Cfrf.

Коэффициенты С - произвольные постоянные.

6.2.13. Случай кратного корня. Положим, что уравнение (15)

Ар А,р -+ ... +Л ==0

имеет один кратный корень р, к-го порядка. Тогда у нас только п - k-\~l различных корней, и

C,e + С.к+г + ... + суп

- уже не общее решение, так как оно содержит только п - /г -f-1 неопределенных постоянных. Положим

у = иеР. ;

Тогда

dy , I du , Введем следующие символические обозначения *):