Подставим в дифференциальное уравнение (14). Получим

ePt\AoФ + pJ+Ay{p + Pyf-+ ...+Л ] = 0

Ho(D+Pi) +A(D+Pi) -4- ...+ 1й = 0. .(16)

Заметим, что выражение в квадратных скобках равно f(D-+-p), где f(p) задано формулой (15).

Так как - кратный корень f{p) порядка к, то мо.жно написагь

f{p) = ?iP)iP - Pif. причем ц>(ру)ф0.

Подставляя вместо р выражение D-\-py и умно.жая результат на и, получим, согласно (16),

cp(D + Pi)D = 0.

Это символическое уравнение удовлетворяется, если Du = О, т. е. -- = 0.

Отсюда следует

MCj+Cj/H- ... н-сг* \

Мы нашли недостающие k - 1 произвольные постоянные. Таким образом, общий интеграл ураэнения (14) в рассматриваемом случае равен

Полученный результат, очевидно, обобщается на случай нескольких кратных корней характеристического уравнения (15). Пример. Решим уравнение

Характеристическое уравнение р-3/? + 2 = 0 имеет двойной корень р=\:

Зр + 2 = (р - 1 )2 (Р + 2).

Отсюда общее решение:

6.2.14. Частный интеграл неоднородного уравнения. Обратимся теперь к неоднородному уравнению (13):

о-+АуЛ- +A,y=g{t). (13)

В соответствии со сказанным выше, для определения общего решения (13) остается найти его частный интеграл. Во многих случаях вид частного интеграла продиктован видом функции g{t). Но в общем случае заранее определить этот вид нельзя - нужно решать уравнение (13) непосредственно. Это удобно делать операционным методом, изло.женным в п. 8.5.2.

Рассмотрим ва.жный для электротехники частный случай, когда функция g (t) равна

g-j () cos (о) 4-tp).

Частный интеграл естественно искать в виде

e- (Л cos wt + B sin wt).

Отсюда

т. е.

Л(-а + +...+Л

Следовательно, вещественная часть (18) R(yi) есть решение уравнения (13) с правой частью gi{t), если /ш - а не является корнем характеристического уравнения (15). В частном случае, когда отсутствует затухание, имеем

17(1г -

Общий интеграл однородного уравнения (14), соответствующего неоднородному уравнению (13), представляет собой часть решения, описывающего переходный режим. Только что определенный частный интеграл (19) неоднородного уравнения (13) соответствует постоянному режиму (вынужденные колебания).

Пример. Решим уравнение

-&+3S+4l + 2y=sin2..

1. Найдем общий интеграл однородного уравнения. Характеристическое уравнение рЗ ] Зр2 4р 2 = 0 имеет корни

р, = -1, Р2,з = -1±/

Следовательно, решение однородного уравнения будет

е- (4 + cos + С sin t).

Коэффициенты А н В определяются путем подстановки. Удобно поступать так. Функция gi(i) есть вещественная часть следующего комплексного выражения:

Рассмотрим дифференциальное уравнение

АоУ ... -\-A yg,(t) + Jg2(t)==Se-e} p\ (17)

Пусть У) - частное решение (17). Выделяя вещественную и мнимую части, мы запишем его в виде

У1 = Я(У1)-{-Л(У1)-

Так как постоянные А, Л вещественны, то R(yi) - частное решение

уравнения (13) с правой частью, равной gi(t), а I(yj) - частное решение вспомогательного уравнения

Л-Н- +A y==Se-sm(-tf).

Попытаемся найти частное решение (17) в виде

y, = e~°+} >t.

Замена тригонометрической функции экспонентной очень упрощает вычисление, так как после подстановки yj в (17) обе части уравнения можно сократить на e(- -i-v< H. Для получаем

2. В соответствии с (19), частный интеграл уравнения вида (17)

(2y)3 + 3(2y)2-b4(2y) + 2 10

sin 2

и частное решение предложенного уравнения равно--р-. Отсюда обшее

решение

у = е- (Л В cos + С sin О - sin 2t

Если предложенное уравнение относится к электрической или механической системе, подвергающейся воздействию периодической силы, пропорциональной sin 2. то переходный режим описывается выражением

е- + cos + С sin О. а режим вынужденных колебаний - выражением

-lsin2.

6.2.15. Случай резонанса. Рассмотрим уравнение

Л 5 + + У = Se- eh е-*.

Предположим, что У<в - а - кратный корень fe-ro порядка характеристического уравнения f{p) = 0. В этом случае формула (18) неприменима. Будем искать частное решение в виде

Повторяя вычисления п. 6.2.13 для у = ке при и.=: ASt и Pi = = jw - а, получим

Ле - Ио (D + уо) - а) + ... 4- А ] t = е.

Используя формулу Тейлора для многочленов, перепишем это равенство в виде

+ ... +/ (>-а)]*=А

О * = ... = D* i* = О и, по предположению (уш - а - кратный корень k-vo порядка). / О ~a) = f и< - а)г==: ... = (уо) й) = О, /(*) (уш - а) -i 0.

Таким образом, в левой части рассматриваемой формулы только один член не равен нулю.. Учитывая, что D** = k\, находим

eh -

/*(>- )

и частный интеграл у, будет