Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу Положим X = Ае-К у = Beft. Коэффициенты А и В определяются из системы линейных алгебраических уравнений Для того чтобы она имела решения, отличные от нуля, нужно, чтобы определитель системы был равен нулю: -р + с d-f-\~ е-\-\-f a-f -f. 4- с d-f -t- e-r + / = 0. . (*) Это уравнение имеет четыре корня: -ух. Т2 Тз Т4- Рассмотрим корень Yj. Система (21) при =-j-j согласно (*), сводится к одному уравнению, что дает для А я В значения, пропорциональные dfi + e-i + f и (a-r2 + ?-ri-t-c). Отсюда получаем частное решение системы: x,{d-\-e-,f)eb\ yi--K + *Ti + /)e. Таким же образом найдем решения JCj, у, х, Уд и х, у, соответствующие корням -(2, (з и if4. Общее решение будет У = 1 н-С2У2+С3У3 4-С4У4. Если коэффищ-ieHT затухания а мал, то у, может принимать большие значения. Если нет затухания {а - 0), то у, будет беспредельно возрастать. Речь идет о случае, когда частота вынужденных колебаний совпадает с собственной частотой электрической или механической системы. Это кончается пробоем для электрической и разрывом для механической системы, если только возрастаюшее затухание не изменит характера процесса. Собтвет-ствуюилим образом изменится тогда и дифференциальное уравнение задачи. Пример. Решим уравнение у -j- sin а. Частный интеграл представляет собой мнимую часть выражения и равен - 7- cos at. Следовательно, общий интеграл будет у = А cos at-\-B sin at - cos at. 6.2.!6. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим, например, систему rfjc , . dx , , . dy . dy . г n Очевидно, что рассмотренный метод распространяется на общий случай решения р линейных дифференциальных уравнений п-то порядка с постоянными коэффициентами. Все р неизвестных функций оказываются зависящими от пр произвольных постоянных. Если рассматривается неоднородная система, то следует, так же как и в случае одного уравнения, сначала решить однородную систему, а затем прибавить к общему решению этой системы частное решение неоднородной системы. 6.3. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Если число независимых переменных больше единицы, то дифференциальные уравнения содержат частные производные. В случае, когда функция Z зависит от двух переменных х ш у, уравнение имеет вид J У : дх ду дх дхду ду дх j - Аналитические методы решения уравнений в частных производных найдены только для некоторых случаев. Ва.жнейшие из них следующие: уравнение, однородное и линейное относительно частных производных, с постоянными коэффициентами; уравнение колебаний струны; телеграфное уравнение; уравнение Лапласа; уравнение Пуассона; уравнения Максвелла. Эти уравнения разбираются нами ниже. 6.3.!. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами, однородное относительно частных производных. Рассмотрим сначала уравнение без правой части. Для случая двух независимых переменных это уравнение имеет вид . d z i . d z , d z d z Sx ~ дх-ду ~r-n-i дхду - -i-n--- Положим ) = p, = q. Тогда уравнение (23) принимает вид (j5 + Ap -V+ ... + -iPr~4- r)2 = 0. (24) Разложим однородный многочлен в левой части (24) на линейные множители: (а,р + Pi9) (ар + 29) . inP + Ш гО. (25) Уравнение (25) сводится к п уравнениям типа (ajp + jq)z0. т. е. + (26) Каждое уравнение (26) удовлетворяется:: выражением (см., например, [5]) z = Фj(aJy - JX), где Фу обозначает любую функцию. Следовательно, общее решение уравнения (23) будет Z = Ф, {а,у - PiX) + Ф2 (ау - 2;) + .... Н- Ф (а У - п). (27) ) Частные производные обозначаются также следующим образом: %v вместо dz dz -г- , Zjir вместо -г- и т. д. дхду дх Мы предполагали, что однородный многочлен уравнения (24) имеет только простые корни. Если он имеет корень k-ro порядка, то общее решение уравнения типа б)дет Z ФДау - р,х)4- (ау - ... + х*-1ф, 1 (ау - (28) Это решение займет место суммы Ф (агУ -р,.х)Н-Ф,1(а,1у -... -Ф-Лс-ьи-У -ik-i) в общем решении (27). 6.2. Уравнение с правой частью. Если уравнение (23) имеет правую часть, то оно легко решается для случая, когда эта правая часть - многочлен, однородный относительно х и у: oA: + iX V+ - -hapy . Частное решение ищется в виде у+...+г. у-. Коэффициенты b определяются путем подстановки. Пример. Найдем общее решение уравнения дх ~ дх ду~ dxду2 дхду йу ~ У- Разложим левую часть ка множители: (Р -9)(Р + 9)(/ + 29)22 = 0. Частное решение ищем в виде Z - Ь<Х + ft,xSy + 2X42 -f г,зхЗуЗ Ц fyxyi jS ..) йдуб. Подставим это выражение в уравнение и приравняем коэффициенты при х, ху, у2. Получим три уравнения с 7 неизвестными: 15o+10,4- ЗЬ - Щ- 4Ь = О, .. 106i + 1Щ + Щ - 1664 - 406д = 20. Ь2+Щ-\- 34-IO65-60/в= 0. Так как нужно найти любое частное решение, примем bQ~b2 = b = bQ = 0. Тогда Следовательно, общее решение 2 === Ф1 (у-Ь х)Н-Фг (у - х)Н-Фз(у - 2х) + -f- ХФ4 (у - 2х) - (4х5у 4-1 Оху Ч- Зху5). 6.3.3. Уравнение колебаний струны. Рассмотрим сначала уравнение - = 0 дхду Получаем
|