Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 [ 104 ] 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

Положим

X = Ае-К у = Beft.

Коэффициенты А и В определяются из системы линейных алгебраических уравнений

Для того чтобы она имела решения, отличные от нуля, нужно, чтобы определитель системы был равен нулю:

-р + с d-f-\~ е-\-\-f

a-f -f. 4- с d-f -t- e-r + /

= 0. . (*)

Это уравнение имеет четыре корня: -ух. Т2 Тз Т4- Рассмотрим корень Yj. Система (21) при =-j-j согласно (*), сводится к одному уравнению, что дает для А я В значения, пропорциональные

dfi + e-i + f и (a-r2 + ?-ri-t-c).

Отсюда получаем частное решение системы:

x,{d-\-e-,f)eb\

yi--K + *Ti + /)e.

Таким же образом найдем решения JCj, у, х, Уд и х, у, соответствующие корням -(2, (з и if4. Общее решение будет

У = 1 н-С2У2+С3У3 4-С4У4.

Если коэффищ-ieHT затухания а мал, то у, может принимать большие значения. Если нет затухания {а - 0), то у, будет беспредельно возрастать. Речь идет о случае, когда частота вынужденных колебаний совпадает с собственной частотой электрической или механической системы. Это кончается пробоем для электрической и разрывом для механической системы, если только возрастаюшее затухание не изменит характера процесса. Собтвет-ствуюилим образом изменится тогда и дифференциальное уравнение задачи.

Пример. Решим уравнение у -j- sin а. Частный интеграл представляет собой мнимую часть выражения

и равен

- 7- cos at.

Следовательно, общий интеграл будет

у = А cos at-\-B sin at - cos at.

6.2.!6. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим, например, систему

rfjc , . dx , , . dy . dy . г n



Очевидно, что рассмотренный метод распространяется на общий случай решения р линейных дифференциальных уравнений п-то порядка с постоянными коэффициентами. Все р неизвестных функций оказываются зависящими от пр произвольных постоянных.

Если рассматривается неоднородная система, то следует, так же как и в случае одного уравнения, сначала решить однородную систему, а затем прибавить к общему решению этой системы частное решение неоднородной системы.

6.3. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Если число независимых переменных больше единицы, то дифференциальные уравнения содержат частные производные. В случае, когда функция Z зависит от двух переменных х ш у, уравнение имеет вид

J У : дх ду дх дхду ду дх j -

Аналитические методы решения уравнений в частных производных найдены только для некоторых случаев. Ва.жнейшие из них следующие: уравнение, однородное и линейное относительно частных производных, с постоянными коэффициентами; уравнение колебаний струны; телеграфное уравнение; уравнение Лапласа; уравнение Пуассона; уравнения Максвелла. Эти уравнения разбираются нами ниже.

6.3.!. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами, однородное относительно частных производных. Рассмотрим сначала уравнение без правой части. Для случая двух независимых переменных это уравнение имеет вид

. d z i . d z , d z d z

Sx ~ дх-ду ~r-n-i дхду - -i-n---

Положим ) = p, = q. Тогда уравнение (23) принимает вид

(j5 + Ap -V+ ... + -iPr~4- r)2 = 0. (24)

Разложим однородный многочлен в левой части (24) на линейные множители: (а,р + Pi9) (ар + 29) . inP + Ш гО. (25)

Уравнение (25) сводится к п уравнениям типа

(ajp + jq)z0.

т. е.

+ (26)

Каждое уравнение (26) удовлетворяется:: выражением (см., например, [5])

z = Фj(aJy - JX),

где Фу обозначает любую функцию. Следовательно, общее решение уравнения (23) будет

Z = Ф, {а,у - PiX) + Ф2 (ау - 2;) + .... Н- Ф (а У - п). (27)

) Частные производные обозначаются также следующим образом: %v вместо

dz dz

-г- , Zjir вместо -г- и т. д. дхду дх



Мы предполагали, что однородный многочлен уравнения (24) имеет только простые корни. Если он имеет корень k-ro порядка, то общее решение уравнения типа

б)дет

Z ФДау - р,х)4- (ау - ... + х*-1ф, 1 (ау - (28)

Это решение займет место суммы

Ф (агУ -р,.х)Н-Ф,1(а,1у -... -Ф-Лс-ьи-У -ik-i)

в общем решении (27).

6.2. Уравнение с правой частью. Если уравнение (23) имеет правую часть, то оно легко решается для случая, когда эта правая часть - многочлен, однородный относительно х и у:

oA: + iX V+ - -hapy . Частное решение ищется в виде

у+...+г. у-.

Коэффициенты b определяются путем подстановки. Пример. Найдем общее решение уравнения

дх ~ дх ду~ dxду2 дхду йу ~ У-

Разложим левую часть ка множители:

(Р -9)(Р + 9)(/ + 29)22 = 0. Частное решение ищем в виде

Z - Ь<Х + ft,xSy + 2X42 -f г,зхЗуЗ Ц fyxyi jS ..) йдуб.

Подставим это выражение в уравнение и приравняем коэффициенты при х, ху, у2. Получим три уравнения с 7 неизвестными:

15o+10,4- ЗЬ - Щ- 4Ь = О, ..

106i + 1Щ + Щ - 1664 - 406д = 20.

Ь2+Щ-\- 34-IO65-60/в= 0.

Так как нужно найти любое частное решение, примем bQ~b2 = b = bQ = 0. Тогда

Следовательно, общее решение

2 === Ф1 (у-Ь х)Н-Фг (у - х)Н-Фз(у - 2х) +

-f- ХФ4 (у - 2х) - (4х5у 4-1 Оху Ч- Зху5).

6.3.3. Уравнение колебаний струны. Рассмотрим сначала уравнение

- = 0 дхду

Получаем



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 [ 104 ] 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251