dy d Z

d R , 1 dR

\ \ d Ф , 1 d Z

7drJ+F++°-

Первые два члена (37) не зависят от z, поэтому и третий член не должен зависеть от 2. Полагаем

1 dZ ,

) Обозначение . qz представляет собой сокращенную запись линейной комбинации А cos qz-\-B sin qz. В дальнейшем мы встретимся с подобными обозначениями: = к ( Р> вместо R = AJ (ар) -f SF, (ар); Z = е* вместо Z = Ае + Be и т. д.

6.3.6. прямоугольная система координат. Положим

U{x, у, z) = X{x)Y{y)Z{z). После подстановки в уравнение (32) и деления на XYZ получаем

X dx Y dy Z dz

Первые три члена уравнения (35) зависят соответственно только от х, у, Z. Следовательно, единственная возможность удовлетворить уравнению (35) - положить

dz +Z =0.

Постоянные т, р, q - это произвольные вещественные или комплексные числа, подчиняющиеся единственному условию

Отсюда произведение Лапласа) имеет вид

., sin sin sin

и - mx ру - gz. cos cos - cos

Граничные условия приводят к дополнительным соотношениям между числами т, р, q. Искомое решение будет суммой всех произведений Лапласа, каждое из которых удовлетворяет граничным условиям (см. п. 6.3.14).

6.3.7. Система цилиндрических координат. Если граничные условия для функции и. заданы на цилиндре вращения с осью Oz, то нужно перейти к системе цилиндрических координат, описанной в п. 3.4.3 и изображенной на рис. 3.27. В этой системе уравнение (34) будет

4?++++ = - (36,

Будем искать решение в форме

U(p, ср, z) = Я(p)Ф(<f)Z(z). После подстановки и деления на ?ФZ уравнение (36) приобретает вид

[dR , 1 dR

+ i- + ( + 92)P=0. (40)

R , df p dp J Рассуждение, подобное предыдущему, приводит к уравнению

1 Й2ф

Знаку минус отвечает решение

Ф = °%ср. (41)

знаку плюс -

Ф = е± или Ф =

Для функции /?(р) знак плюс приводит к бесселевым функциям с мнимым индексом. Этот случай встречается на практике очень редко, и мы не будем на нем останавливаться.

Если радиус-вектор может свободно вращаться в области существова-ния функции и, то она должна принимать одинаковое значение при © и tf-\-2k, т. е. V должно быть целым числом п. При этом говорят, что имеет место симметрия повторения порядка п. Особый случай представится, если, например, область является полым цилиндром с радиальной перегородкой.

Подставляя (41) в (40), получим

Это уравнение решается в бесселевых функциях (см. § 7,5). Рассмотрим частные случаи:

1. Перед 9 знак плюс или знак минус, но при условии, что - > 0. -Обозначая для этого случая kj q: = а, имеем

R=Y{a). (42)

2. Перед 2 знак минус, причем kP - < 0. Полагая к - q= - < О, найдем

R = jl{ap). (43)

Если ось Oz входит в область существования решения, то U должна принимать конечные значения при р = 0. Это исключает решения К и /С. Таким образом, произведение Лапласа будет

t; = /?(p)0(cp)Z(z),

где функции R, Ф, Z даются равенствами (38), (39), (41) - (43).

Замечание. Случаи, когда одна из постоянных q, v, а равна нулю, х;ледует рассматривать отдельно. Если q = Q, то решение (38) и (39) заменяется на

Z = AZ\-B.

Знаку минус соответствует решение

Z= 2 4Z,- (38)

.& знаку плюс -

Z=e±? или Z=j9Z. (39)

Тогда уравнение (37) может быть написано в виде

dm , dR df

1 Г de , , с, da

+B -d--m

+ i- + V==0. (44)

Рассуждение, аналогичное рассуждению предыдущего пункта, приводит к

d R , dR

dp2 dp J

+ AV = p2. (45)

Отсюда (CM. n. 7.5.36)

/? = Р \ (Ар)- (46)

He будем останавливаться на случае, когда правая часть уравнения (45) равна - Это привело бы нас к бесселевым функциям с мнимым индексом.

Если к -О, т. е. если требуется найти произведение Лапласа как решение уравнения (33), то (45) принимает вид

dp р dp f Это уравнение Эйлера (п. 6.2.9). Имеем

Если точка О относится к области существования решения, то функ-ции - и р должны быть исключены из числа решений (46)

Точно так же, если -уО, решение (41) заменяется на

Функции Бесселя имеют тогда нулевой порядок. По причинам, указанным выше, при наличии симметрии вращения А должно равняться нулю. Если а -О, то решение (42) заменяется на

R=Ay + B p-\

Если, кроме того, v равно нулю, то

/? = Л 1пр + 5 .

Если ось Oz входит в область существования U, то В = 0. А = 0.

6.3.8. Система сферических координат. Если граничные условия для функции и заданы на шаре с центром О или на конусе вращения с вершиной О, то следует перейти к системе сферических координат, описанной в п. 3.4.4 и изображенной на рис. 3.28. В этой системе уравнение (34) имеет вид

df ~ p dp f да p d psinS df 1 U - 0.

Будем искать решение в форме

t/(p, (р) = /?(р)в(&)Ф(ср).

После подстановки и деления на R&Ф получим