338 МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГГЛ. VI

И (48). Функция У /--f- подходит, так как l/ -f-4- > 4 значит.

произведение р J ,--j- конечно при р = 0.

У Р*4

Подставляя выражение для R(p) в уравнение .(44V получим

1 d2Ф

ctg j + p2 sin + 0. (49)

Так же как и в п. 6.3.7. заключаем, что

1 ф ф d<f.2

-Отсюда

f jx2 = 0.

ф=;°>т. (50)

Если в области существования рещения угол (р может принимать значения, превышающие 2к, то jx должно быть целым числом т (ср. п. 6.3.7). Исключение представляет собой задача для шара с полукруглой перегородкой.

Подставляя в (49) формулу (50) при [а = яг, получим

Если отрицательная полуось z {Ь = - тс) входит в область существования решения, то единственным возможным решением будут функции (см. п. 7.6.22)

е= (cosft), (52)

где п - целое число, связанное с р соотношением п{п-\- 1) = р. Это условие ограничивает произвол в выборе р. В частности, индекс бесселевых

функций из (46) становится полуцелым, равным ra-j-y.

Если полная ось z входит в область существования решения, то следует исключить функции Qn (см. п. 7.6.22). .Таким образом, произведение Лапласа будет

t/(p, ср, &)=/?(р)Ф(ср)в(а),

где функции R, Ф, в даются равенствами (46), (48), (50), (52).

6.3.9. Система эллиптических цилиндрических координат. Если граничные условия заданы на поверхности эллиптического или гиперболического цилиндра, то следует перейти к системе координат, описанной в (п. 3.4.7) и показанной на рис. 3.30. В этой системе уравнение (34) записывается в виде

аЦсЬ S - cos 9) V di де) + + - -

Будем искать решение U в форме

U(t ср, z)=E(i)0(<f)Z(z). После подстановки и деления на U уравнение (53) приобретает вид

I dE , 1 dФ

tt2 (ch4 - C0s2 (f) [e + ф d2\ + z dz

1 dZ

6.31

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Полагаем

Отсюда

1 dPZ

Z dz

cos

Если обозначить 1

[ji2)a2, то уравнение (54) примет вид 1

Ф dtf .

Это уравнение распадается на два следующих:

(.2 1 ,2 .1 ,2

COS ср :

(55)

(56)

dtf

*cos.

,2ip]o = 0.

(r2-i/72-lp2ch2

Полагая - ~-

-b, a p = Aq, получим d2ф

E = 0.

(b - 2g cos 2ip) Ф = 0, -(b - 2q ch 2) E := 0.

(57) (58)

Уравнение (57) называется дифференциальным уравнением Матье. Уравнение (58) сводится к предыдущему путем замены переменной c, - j<f.

Для того чтобы функция U вернулась к первоначальному значению после полного оборота по поверхности эллиптического цилиндра, она обязана .иметь по ср период 271 (ср. п. 6.3.7). Это должно иметь место, если по условиям задачи отсутствует радиальная перегородка, препятствующая изменению на угол, превосходящий 2:т. В этом важном случае мы оставляем только те решения уравнения Матье (57), которые имеют период 2:т. Они называются функциями Матье целого порядка*) и обозначаются (см. п. 7.7.1)

се (Т- Я) se (cp, q).

(59)

Решения уравнения (58) в свою очередь представляют собой -присоединенные функции Матье целого порядка (п. 7.7.4):

Се(.

Ч). Se(E, q).

6.3.10. Система параболических цилиндрических координат. Если граничные условия заданы на поверхности параболического цилиндра, то следует перейти к системе координат, описанной в п. 3.4.5 и изображенной на рис. 3.29. В этой системе уравнение (34) записывается в виде

с (а + )

(60)

Будем искать решение в форме

и {а, р, z) = A{,a)B{)Z{z\

После подстановки и деления на U уравнение (60) принимает вид

1 dM , 1 d B

С2(а2 + р2) 1 da в dps

*) Или функциями Матье первого рода.

Отсюда

1 dZ

cos ch

Z = .mz или mz.

(62)

Если обозначить р = (± m - k)c. то уравнение (61) примет вид

В dF ~ ~

1 dM 9 2,1 dB .,5

Л dc(2

Уравнение (63) распадается на два следующих:

(± q~pa)A = 0,

da dB

(64) (65)

Эти уравнения переходят одно в другое путем замены переменной а = ур. Они решаются с помощью функций Вебера - Эрмита (см. п. 7.8.1).

6.3.11. Другие системы координат. Ограничимся здесь определением произведений Лапласа для уравнения Д(7 = 0.

Рассмотрим следующие системы координат:

1. Система вытянутых эллипсоидальных координат вращения (см. пп. 3.4.8 и 7.6.22):

д-=г й sh J sin-fsinij;, v= й sh sinwcostf, г= g ch; cos cp.

dU ,dU 1 dU

+ /lro2 Ti

a{chi~cosf) I di ~ d thi di tgc

u2sh4sin2v> &\i

Ф = Si (cos cp) + BzQ (cos cp). E == Cl Pi (Ch 5) + CiQ (Ch E).

2 Система сплюснутых эллипсоидальных координат вращения ,(см. п. 3.4.9):

д:= cchScoscpsintf, у = с ch5 cos 9 cosф, z = а sh ? sincp.

й2(сьЧ -cosv) L

-th?

-tgcp

achicos<f

(7 = 2ФЗ, VF r= Л, cos jxij) -j- Л2 sin и,ф, Ф = SiPf (sin cp) + (sin ip). E = CiP, (y sh 5) + (y sh 5).

Полагаем