J /(г)Й2 = 27гуЛ 1,

где Л 1 - коэффициент при в разложении /(z) в ряд Лорана. Вели-

чина называется вычетом функции f (z) относительно особой точки а*}. Действительно, если а - полюс порядка т, то

где <{i(z) - голоморфная функция внутри контура С. Отсюда получаем

ff(z)dz = fjdz+ ... +/--dz+f (Z)dZ. с с с с

В силу голоморфности <f(z) по теореме Коши J fp(z)dz = 0.

Опишем из точки а как из центра окружность Г радиуса R, целиком лежащую внутри контура С. Применяя теорему Коши к области, ограниченной контурами Г и С (на С также выбрано положительное направление), псаучим

(.). = Л /+ ...

с г г

Положим Z - а = Rei, dz - jRe dB. Имеем

Г dz j Г de

откуда

= -=1 f lcos(m~l)e - Jsin(m~l)G]dd = 0 (от > 1),

f f(z)dz=.27zjA ,.

1.3.12. Вычисление вычетов. Рассмотрим сначала саучай простого полюса. Пусть f(,z)/g(z) - отношение двух голоморфных функций. Тогда g{z) = (z - a)(z), (а)фО. Имеем

f(z) /(г) ,

g(z)~(:r)f(z)-o-\-Mz~a}+ ...

*) Часто используется обозначение i = Res( ;) функции f{z).

Интегрирование по методу вычетов

1.3.11. Теорема о вычетах. Пусть а-полюс функции f(z), а С-контур, окружающий точку а, на котором выбрано положительное направление; функция f{z) голоморфна во всех точках внутри С, кроме, разумеется, точки а. Покажем, что в принятых предположениях имеет место формула

Следовательно,

Пример. Рассмотрим функцию

z-\- а

12. Имеются два простых полюса:

z - -rJci и z~ - ja. Применим предыдущую формулу: Res иа)=щ, Res(-ja)=:-j-.

Следовательно, сумма вычетов равна

sin а а

, . sin а dz = 2Rj-

22 + д2

Здесь С - произвольная кривая. Окружающая оба полюса, как показано на рис. 1.24, а.

Замечание 1. Можно последовательно изменять контур, окружающий оба полюса до тех пор, пока не останутся маленькие круги с центрами в полюсах, соединенные между собой бесконечно узким разрезом, берега которого проходятся в противоположных направлениях. При этой деформации интеграл сохранит свое значение (теорема Коши). Значения интегралов вдоль противоположных берегов разреза в силу однозначности функции взаимно компенсируют друг друга. Поэтому в качестве контура интегрирования можно брать совокупность отдельных замкнутых контуров, каждый из которых содержит один полюс функции (см. рис. 1.24,6, а также рис. 8.15).

Замечание 2. Указанный в начале этого пункта способ вычисления вычета в простом полюсе удобно несколько видоизменить. Очевидно,

Рис. 1.24.

Для раскрытия этой неопределенности типа применим правило Лопиталя:

f{z) + {z-a)f jz) /(а)

zZ e{z) - g{ay

Следовательно,

Res {a)

f{a)

Замечание 3. Пусть Gj, .....a - простые полюса для ~щ Тогда.

Рассмотрим функцию вида fg] . g(0)0. Легко убедиться, что в этом случае

/(0) i /М

2; Res:

g(0)

m = l

amg (am)

Пример 1. Найти сумму вычетов

sin mz

ходящихся на вещественнной оси между -со и 0.

г\ -nit

Так как smmz - v при z - ---> то имеем

относительно полюсов, на-

т cos mz

с т

Приведем способ вычисления вычетов относительно кратных полюсов.

-:-, где с - малая окружность вокруг

2 Sin TttZ

начала координат.

Разложим и sin/кг;. Для малых z имеем

(,+.++...)(.++...)

, mz

....)

Таким образом, в данном примере z = Q - полюс второго порядка. Коэффициент при - равен , следовательно.

dz=:-2T:J. Z sin mz т

1.3.13. Вычисление вычетов относительно кратных полюсов с по-

мощью производных. Пусть

/(£). е(г)

- функция, имеющая в точке а полюс

порядка п. Разлагая ее в ряд Лорана, получаем Ум ножим обе части равенства на (z - а) :

{z-a) = [A,+ A,{z-a)+ .. .](z-a) + i(z-a) -i+ ... + л .

Дифференцируем это тождество п-1 раз и полагаем затем z = a. Имеем й

-\z-aff

g{)i

= ( -

Отсюда получаем искомый коэффициент