6.3.14. Пример. Электромагнитные колебания в прямоугольной полости. Предполагаем, что стенки сделаны из абсолютно проводящего материала (рис. 6.3).

Используем прямоугольные координаты, т. е. gj = = = 1. Если ограничиться синусоидальными функциями времени, то потенциал U Бромвича получается из уравнения (87), которое в этом случае совпадает с уравнением Гельмгольца (п. 6.3.6). Для этого уравнения произведение Лапласа будет

cos sin sin ) I 9 I о

U=. mxpyqz при km?-{-p+q.

cos

(обозначение

sin cos

a, как и выше, заменяет бином Л cos а--- sin а. j

Решение для поперечных магнитных колебаний):

cos sin sin

t,.= (k-m) . mx py qz, sm cos - cos

(90)

в COS

sin cos

cos sin

. - / e cos cos sin H,= Jp л/ - . mx . py az. J/ (x sm - sm-cos

Рис. 6.3.

Решение для поперечных электрических колебаний): £ =0,

COS sin cos

mx py . az, sm cos sin

cos cos sin

mx . py qz, sin - sin cos

/1.9 9ч COS Sin sm (k - m . mx py qz,

sin cos COS

- sin COS sin mp mx . py qz.

(91)

- sin : ma mx

- sin sin

--sin-

Граничные условия: тангенциальные составляющие электрического поля на стенках параллелепипеда равны нулю. Таким образом, параметры т, р, q (а, Ь, с - ребра параллелепипеда) таковы, что

Еу = Е=0 при х = 0 и х = а, Е = Е = 0 при у=0 и у = *, Ej = Ey = 0 при 2; = О и 2; = с.

Отсюда следует, что в произведение Лапласа cos mx sin ру sin 92, соответствующее решению для поперечных магнитных колебаний, и в произведение

) Множитель е при записи опускается.

Заметим, что для поперечных магнитных колебаний сочетания следующих целых чисел а, р, -j- дают нулевое рещение:

(О, О, 0), (О, О, 1), (О, 1, 0), (1, О, 0), (1, О, 1), (1, 1, 0).

Колебание с наибольщей длиной волны получается из сочетания (О, 1, 1). Если 0 = с, то эта максимальная длина волны равна диагонали квадрата.

Для поперечных электрических колебаний самые длинные волны даются сочетанием (1, 1, 0) или (1, О, 1):

/1 1 /1 1 \~

ша.= 2( + ) или 2(- + -)

в зависимости от того, будет ли с меньще или больще Ь.

Замечание 1. Отметим, что к полученному выще рещению нужно добавить два других рещения, которые находятся из предыдущего круговой перестановкой х, у, z. В нащем рещений ось Ох играет предпочтительную роль. В действительности все три оси равноправны.

Замечание 2. Не следует забывать, что группы формул (90) и (91) определялись, исходя из функции U, иначе говоря, через произведение Лапласа, определенное с точностью до коэффициента. Этот коэффициент может оказаться различным для каждого вида колебаний, т. е. для каждой комбинации чисел т, р, q. Он зависит от других граничных условий, описывающих возбуждение электромагнитных колебаний полости.

Замечание 3. Рассмотрение резонирующих объемов более сложной формы, чем в примере этого пункта, будет сделано в пп. 7.5.41, 7.6.31. Там будут существенно использованы свойства бесселевых и сферических функций.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VI

1. Смирнов В. 14., Курс высшей математики, т. П, Физматгиз, 1962.

2. Смирнов В. 14., Курс высшей математики, т. III, ч. 2, Гостехиздат, 1957.

3. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, Физматгиз, 1959.

4. Э л ь с г о л ь ц Л. Э., Дифференциальные уравнения, Гостехиздат, 1957.

5. Матвеев Н. М., Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, !4зд-Ео ЛГУ, 1955.

6. Петровский 14. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз, 1961.

7. Т р и к о м и Ф., Лекции по уравнениям в частных производных, И.Л, 1957.

8. Соболев СЛ., Уравнения математической физики, Гостехиздат, 1954.

9. Айне Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, Харьков, 1939.

Лапласа sin тх cos ру cos qz, соответствующее рещению для поперечных электрических колебаний, могут входить только следующие величины т, р, q:

г = -. Р=\. 9=. (92>

где а, р, -J- - целые числа.

Теперь нетрудно написать окончательные выражения полей, зачеркнув в .формулах (90) или (91) неподходящие тригонометрические функции (стоящие вверху или внизу), учитывая, что значения т, п, р определяются формулами (92). Соответствующая длина волны будет

. 2-к

ГЛАВА VII

НАИБОЛЕЕ УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ СПЕЦИАЛЬНЬ5Е ФУНКЦИИ

7.0.1. Асимптотическое разложение. Рассмотрим, вообще говоря, расходящийся ряд

Сумму и--1 первых его членов обозначим 5 (2;) (частная сумма). Согласно Пуанкаре), ряд представляет собой асимптотическое разложение функции t\Z) в определенной области изменения arg 2, если при таких z выражение

Rn{z)z-\f{z) - S(z)\

удовлетворяет условию

lim R(z) - 0 (п-фиксированное),

даже если при этом

lim lf(z) - 8 (г)]фО (z - фиксированное).

Запищем эту связь между рядом и функцией в виде

/(.г)~а, + -Ч- ... +4- ...

Согласно определению асимптотического разложения, отсюда следует, что для любого положительного сколь угодно малого з при достаточно больших z (при фиксированном п) имеет место

\z {f{z)-sAm<-

Покажем на примере, как с помощью расходящегося асимптотического разложения функции можно приближенно подсчитать ее численные значения. Пусть функция /(х) определена равенством

М. Р о in с а г ё, Acta mat hematica, 8 (1886), p. 295.