7.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ СИНУС И КОСИНУС

7.2.1. Определение. Формулы, определяющие интегральный синус и косинус, имеют следующий вид:

Si X = dt (интегральный синус х);

cos t

dt (интегральный косинус x)

Отметим, что данное определение Cix пригодно только для положительных значений х *).

Часто интегральный синус определяют формулой

*) Если переменную х считать вещественной.

7.1.5. Таблицы показательной и гиперболических функций.

то оба определения интегрального синуса отличаются на величину ~ :

Ы X = у -- S1 X.

7.2.2. Разложение в степенной ряд. Интегрируя от нуля до х разложение в ряд функции -j~ > легко получить разложение в степенной ряд функции Si X. Находим

. X х° . , , х +

1-1.1! 3-3! 5-5! ----t-*. ) (2/г+1)(2/г+1)!

Разложение в степенной ряд функции Ci х будет рассматриваться в п. 8.3.19. Оно имеет вид

х х* х

Cix = Inx + -y- + - ... ...

(у обозначает постоянную Эйлера, см. п. 7.4.1). Заметив, что

2-2! ~ 4-4! 2/г(2п)! - J

можно написать

cos

Clx = lnx + Y-У -

На основе полученных разложений в степенной ряд легко изучить поведение функций Six и Cix при малых значениях переменной х. Функция Six для таких х практически совпадает с функцией х, а функция Cix- с функцией Y + lnx.

7.2.3. Разложение в асимптотический ряд. Повторно интегрируя по частям линейную комбинацию

]i X-j-ysix=:- I

dt

и приравнивая вещественные и мнимые части, получаем

со оо

Si rasYr n (2 )! sinx Y (2/i-f 1)!

ых-у Ja-) -2Й .2 +i

=0 =о

СО со

sinX у (2/г)! COSXY/ п (2п+1)!

и = 0 ;г=0

Эти соотношения позволяют изучить поведение функций Si х и Ci х при больших значениях х.

Так как

7.2.4. Графики функций Si л: и Ci л: (рис. 7.8).

+г,о

-1.0

12 3 4

Рис. 7.8.

7.2.5. Таблицы функций Si л: и Ci х.

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,10 0,11 0,12 0,13 0,14

0,15 0,16 0,17 0,18 0,19

0,20 0,21 0,22 0,23 0,24

0,25 0,26 0,27 0,28 0,29

--0,{

+0,000 000 --0,010 000 --0,019 999 --0,029998 --0,039 996

0,04999 0,059 99 0,06998 1,07997 1,08995

-f0,09994 --0,10993 -0,11990 --0,129 88 --0,139 85

-f0,149 81 -f0,159 77 -f0,169 73 -f 0,179 7 -f.0,189 6

--0,199 6 --0,209 5 --0,219 4 --0,2293 --0,2392

- -0,249 1 --0,2590

- -0,268 9

- -0,278 8

- -0,288 6

- oo -4,028 0 -3,334 9 -2,9296 -2,642 1

-2,419 1 -2,237 1 -2,083 3 -1,950 1 -1,832 8

-1,727 9 -1,6331 -1,546 6 -1,467 2 -1,393 8

-1,3255 -1,261 8 -1,202 0 -1,1457 -1,092 5

-1,042 2 -0,994 4 -0,9490 -0,905 7 -0,864 3

-0,8247 -0,786 7 -0,750 3 -0,7153 -0,681 6

0,30 0,31 0,32 0,33 0,34

0,35 0,36 0,37 0,38 0,39

0,40 0,41 0,42 0,43 0,44

0,45 0,46 0,47 0,48 0,49

0,50 0,51 0,52 0,53 0,54

0,55 0,56 0,57 0,58 0,59

-t-0,298 5

- -0,308 3

- -0,318 2

- -0,328 0

- -0,337 8

--0,347 6 --0,357 4 --0,367 2

- -0,377 0 --0,386 7

--0,396 5 --0,4062 --0,4159 --0,425 6 --0,435 3

--0,445 0 --0,454 6 --0,464 3 --0,473 9 --0,483 5

- -0,493 1 --0,502 7 --0,512 3

- -0,521 8

- -0,531 3

--0,540 8

- -0,550 3

- -0,559 8 --0,5693 --0,5787

-0,6492 -0,6179 -0,5877 -0,558 5 -0,530 4

-0,5031 -0,476 7 -0,4511 -0,426 3 -0,402 2

-0,378 8 -0,356 1 -0,334 1 -0,312 6 -0,291 8

-0,271 5 -0,251 7 -0,232 5 -0,213 8 -0,1956

-0,17778 -0,160 45 -0,143 55 -0,12707 -0,110 99

-0,09530 -0,07999 -0,065 04 -0,050 44 -0,036 19