со j - i

1 Ф(д;) = Ь- Г е-иdu = ~ f и~ die- ).

Повторно интегрируя по частям, получаем

1-Ф(д;) =

1-Ф(л:) =

-Jt -3 1 о Л !

Т--J и (-)

Отсюда 1 -Ф(л:)

1-3-5

-1 Ь3-5...(2и-3)

Отношение абсолютных величин двзх последовательных членов равно 2~2 близко к единице, если п близко к х. Ясно, что член асим-

птотического разложения 1 - Ф (л:) *), соответствующий этому и, имеет наименьшую абсолютную величину. Именно на нем и следует остановиться, чтобы получить наименьшую ошибку при вычислении 1-Ф(л:).

Замечание. В примере 3 п. 2.2.8 мы показали, что функция Гаусса W(x), представленная на рис. 7.9, обладает свойством быть своей собственной трансформантой Фурье. Поэтому понятна та важная роль, которую она играет при изучении спектра сигналов и диаграмм направленности источников радиоволн.

7.3.4. Выражение функции I - Ф через интеграл Коши. В разложении функции Ф(х} в степенной ряд заменим х на Получаем

12 j 0 !22 +i(2 +l)

Согласно результатам п. 7.4.3, имеем (и > О, целое)

1 при г =: О,

О при г - 2п.

(-у) 1 (-1) 1-3...(2и-1)

I ]/ я 2

Это дает возможность написать

при Г - 2П-+ I.

.=o/-!r(l-.J)

1 Ф(л:)

*) Нетрудно доказать, что полученное разложение - ), действительно

является асимптотическим (ср. п. 7.0.1,пример и замечание).

Положим = и:

Отсюда

1 1 / edz

\2) 27.J .1

Поэтому мы можем также написать

Функция - б {х > 0) удовлетворяет условиям леммы Жордана (п. 1.3.14).

C + jo

-X Vz

c-jco

7.З.Б. Таблица функции Ф{х)-у=г / e-dt*).

*) в таблице указаны также первые разности Д.

Согласно формуле (10) п. 7.4.5. (см. также рис. 7.12),

7.3.6. График функции Ф{х) = ~ f е-*dt (рис. 7.10).

Ф(Х)

0,3 0,6 0.7 0.6 0.5 0,4 0.3

0,10,20,3а,40Ц6С,70,60,9 7 V 1,2 13 1, 1,51,6171,87,9 2 Рис. 7.10-.

7.3.7. Интегралы Френеля. Интегралы Френеля - функции С {у) и 5(v) - могут быть определены через функцию вероятности ошибок по формуле

C{y) - jS{y) =

Отсюда следует C(v)= / cos--rf. S{y)= j sin-j-dt. Параметриче-

ские уравнения

C = C(v), S = S(y)

изображают на плоскости CS (С - ось абсцисс и .S - ось ординат) двойную спираль, симметричную относительно начала координат. Она называется клотоидой или спиралью Корню (рис. 7.11). Градуировка клотоиды как функции параметра v легко осуществляется. В самом деле, длина дуги от начала координат до точки с координатами С (у), S{\) как раз равна \:

Легко проверить, что кривизна клотоиды меняется пропорционально длине дуги, т. е. пропорционально v. Координаты асимптотических точек клотоиды равны

C(± D)=5(± D)= ±1.

Разложения функций 5(v) и C(v) в степенной ряд легко получить, исходя из разложений синуса и косинуса. Имеем

c(v)=;(-i) ()

4Я+1

(2и)! 4n +

2n+]

4 +3

ri=0

(2и+1)! 4 + 3