Т{2)Т{-2)

По формуле (4)

T(l-z) = - zT{ - z).

Следовательно,

В п. 2.1.4 была доказана формула

sinz==zJl[l-~).

Сравнивая два последних выражения, получаем формулу (6). Заменив в формуле (6) Z на z~\-~, найдем

г(1+.)г(1-.) = -. (7)

7.4.3. Некоторые значения функции Г(г). Если в формуле (6) считать z--ty, то

откуда

Из формулы (1) видно, что при Z целых неположительных гамма-функция бесконечна: Г( - я)=±оо.

Формула (4), повторно примененная, дает

Г(2--1)=2(г-1) ...(г; -и4-1)Г(2 -

где - целое число. Положив z - n-\-k, имеем

Г( + А+1) = ( 4-&)( Н-)%-1) ... ()%- 1)Г()%+1).

При k= - -i получаем

r(n+l)=--,f-) ]Л. (8)

Заменим в формуле. (7) z на п. Тогда формула (8) позволяет написать

1.3..7(1-1) 1 -

Весь этот набор частных значений гамма-функции с учетом формулы Г(п+Х-пХ позволяет построить график функции Г(2:--1) для вещественных 2 (см. рис. 7.13)1).

7.4.4. Логарифмическая производная гамма-функции. Эта производная равна, по определению *),

Ф)- Г(2+1)

1) Асимптотическая формула для к! дается формулой Стирлинга (п. 9.1.4).

Г (Z)

*) Часто полагают ф (z) == j у-

Согласно формуле (I), имеем

m=l m-l

/ J / er(cose4-7sine)-yv9 v6. Разрез

1 27с ,/ !

Рис. 7.12.

Если R (v) < О, то этот интеграл стремится к нулю вместе с г. На нижнем берегу разреза {z = xe-i)

На верхнем берегу разреза {z - xei)

оо .

2яу ,/

Отсюда

*) Используем разложение ,ctgic2 (п. 2.1.4.).

Используя формулы (1) и (4), найдем

со и = 1

Отсюда можно получить соотношения:

ф ( - 2) = ф (2 - 1) Ч-It ctg *\ [z - = C{-z-~j+-7:tgZ

и частные значения ф(2:):

ф(0) = -т.

ф(-и)=со. (9)

(-1± )==ф(-)+2(1+ + Ч- ... +2).

ф(-1] = -7 -21п2 = -1.9635 ...

7.4.5. Представление гамма-функции через интеграл Коши. Рассмотрим интеграл

1 f edz

с

взятый по контуру с, изображенному на рис. 7.12. Контур С состоит из малой окружности и двух берегов разреза

вдоль отрицательной вещественной полуоси. Интеграл по окружности {z = re) равен

Так как по формуле (б)

sin 1cv

r(-v)

r(v+l) 2nj J

r(v-hl)

(10)

7.4.6. Связь между эйлеровыми интегралами первого и второго рода.

Эйлеров интеграл первого рода (бета-функция) - это функция двух положительных переменных р к q вида

-3 -

Г(х*1)

(р, q)= j хР-\1-ху~Чх.

Эйлеровым интегралом второго рода называют гамма-функцию.

Полагая x = cosG, мо.жно бета-функцию записать в виде

fi/ 2 В(р, )=:2fcosp-esin-iede.

В формуле (3) заменим z на и и f на у2, а затем z на m и i на х. Имеем

Рис. 7.13. Перемножим эти формулы:

со со ,

. , Г(т)Г(/г)=4 J x -y-Ч--Уйх йу. о о

Получили двойной интеграл, распространенный на первый квадрант координатной плоскости ху.

Перейдем к полярным координатам:

л; = рсо8е. y = psine, uxuy - ds=.pu db. Имеем

Т - со

Г(т)Г( )=2 Jcos2 -iesin2 -iede X 2 J pC+J-ie-pdp. о , о

Согласно формуле (11), первый удвоенный интеграл равен В(т, п); согласно формуле (3), второй удвоенный интеграл равен Г(т + ). Таким образом, получаем соотношение между функциями В и Г;

(12)

t,-. , г (m) Г (я)

*) Правая часть этой формулы при любом контуре С (/ > 0) представляет целую функцию. Поэтому формула (10) верна при любом v.