7.4.7. График функции у-Т{х-\-1) (рис. 7.13). Координаты единственного минимума с положительной абсциссой равны

JC = 0,46163 .... у = 0,88560...

7.4.8. Таблица функции Г(х--1).

Столбец, помеченный буквой п, дает первую или две первые цифры искомого числа. Так, например, Г(1-f-1,23)= 1.1 202.

Значок * означает, что следует брать число п, увеличенное на единицу (для X > 2) или на 0,1 (для х < 2). Аналогично значок ** означает, что следует брать число п, увеличенное на две единицы (для х > 2) или на 0,2 (для х<2).

dy 1 dy dz z dz

(l--J)>==0. (13)

Если /,(2) и F,(2;) -два независимых решения уравнения (13). то общий интеграл уравнения запишется в виде

у = Л,(г)=ЛУДг)Ч-5КДг). (14)

Здесь А v В означают две произвольные постоянные.

7.5.1. Определение функции первого рода. Функции Бесселя первого рода, обозначаемые как J,{z), определяются с помощью следующего ряда (см. п. 6.2.10):

Если мы подставим этот ряд в дифференциальное уравнение (13) и приравняем нулю коэффициенты при р+ч то получим, придавая X последовательные значения О, 1, 2. X-2,

(p2-v2)a,= 0,

- [(р+1)2-2]а, = 0, . (16)

[(р+2)2 -v2jC2+Co = 0,

[(Р + Х)2 21 а,+ С, 2 = 0.

Если число v вещественное, то будем считать его положительным, если оно комплексное, то предположим, что R(v)>0. Пусть афО. Тогда из первого уравнения (16) находим р= ±v.

Первый случай: р = v. Все нечетные коэффициенты равны нулю; четные коэффициенты вычисляются через Cq, который остается неопределенным. Обозначая Х=2г, имеем

( - 1)

22rr!(l + v) (2-f V) ... (,--fv)

Для функции Бесселя первого рода У(г) порядка v произвольный коэффициент UQ принято выбирать в виде

° 2Г (1 + V) r(l+/--hv) = (lH-vK2 + v) ... (/- + v)r(l + v).

Например, Г(1 +3,72)= 15, 882, Г(1+3,73)= 16. ИЗ и Г(1--3,77)= = 17. 075; Г(1Н-1,81)= 1,6907. Г(1 + 1.82)= 1,7051 и Г(1 + 1,89)= = 1,8 113.

В последних двух строках таблицы число п равно 1 или 2, а цифра 10 является множителем. Так, например, Г(1 + 3,90) = 10 X 2, 067 = 20,67.

Замечание. Повторное применение формулы (4) позволяет произво-лить вычисление Г(1-4-л;) для любого х.

7.5. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ Функции Бесселя первого и второго рода

Функции Бесселя первого и второго рода порядка v представляют собой частные решения следующего дифференциального уравнения:

в частном случае при п = 0

Второй случай: р = - м. Четные коэффициенты Cgr 2г-2 связаны формулой

2/- (2/- - 2v) а, + 2Г-2 = 0. а нечетные коэффициенты - формулой

(2/-+ 1) (2/-+ 1-2)2,1-1-Й2г-1= О- .

Если v не равно половине нечетного числа, то все нечетные коэффициенты равны нулю. Аналогично предыдущему находим

Если v равно половине нечетного числа: = -(.2rii-\-l), то нечетные коэффициенты, начиная с индекса г = т, не равны нулю. Этот случай будет особо рассматриваться в п. 7.5.15.

Рассмотрим вариант (, = 0. Тогда при а,фО второе уравнение (16) дает р=±м-1 и все четные коэффициенты в (16) равны нулю, а все нечетные выражаются через а,. При соответствующем выборе а, мы приходим к результатам, не отличающимся от формул (17) и (20).

7.5.2. Соотношение между J(z) и Рассмотрим, в каких слу-

чаях решение /,(2), представляемое формулой (17), и / ,(2;), представленное соотношением (20), будут линейно независимы.

Предположим, что \ не равно целому числу. Тогда функция Г(г-1-v> конечна при любых значениях г. Если стремить z к нулю, то функция J(z) также будет стремиться к нулю. Напротив, функция J (z) будет при этом

2г-.

, показатель степени

бесконечно возрастать из-за наличия членов вида

у которых отрицателен по крайней мере у одного или нескольких первых членов. В этом случае (v - не целое число!) оба решения У,(г) и J (z)r очевидно, линейно независимы. Общий интеграл уравнения (13) может быть написан в виде

Z(z)=AJ,(z) + BJ Jz). (21)

Предположим теперь, что v равно целому числу п. Тогда формула (20) принимает вид

- (-!) /

У (2) -(2) Н(,- -И)! (2)

получим *

-v()-(i)l:7Tr(!+T+i) (if-

Если v равно целому числу п, то имеем

2г