дп дп

Пользуясь разложением в ряд (17), вычислим производную функцию J,{z) по индексу v:

у (Ип - У (-1) Г-(л + у+1)

- -1.()12 Zi г\т(-]-г+1) г(гч-ч-1) Uj :

7-= о

Устремим V к целому числу. Тогда, в силу формул (5) и (9), получим

(25)

Используя формулы (20) и (6), выражение для функции У ,(2!) представим в виде

где я - ближайшее целое число, большее v.

Первые члены этого ряда будут нули, пока г - п равно целому отрицательному числу. Величина (г - и)! станет конечной при

г==п, и-1-1. п+г, ...

Если опустить первые нулевые члены, то предыдущая формула будет выглядеть так:

Отсюда

J.niz) = (-l)%(z). (22)

Теперь обе функции J и У уже не будут линейно независимы, и общий интеграл уравнения (13) нельзя написать в виде

Z (z) = AJ {z) + BJ (z). .

Для целых значений индекса следует найти другой частный интеграл, который был бы линейно независим от J (z).

7.5.3. Определение бесселевой функции второго рода. Рассмотрим функцию

Y -уН--у() . (23)

у siHTiv

Если V - не целое число, то это выражение представляет собой частный интеграл дифференциального уравнения (13). Если устремить v к целому числу п. то правая часть в (23) становится неопределенной. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя. Получим

УЛ) = -Ц-(-1Г1 . (24)

-v+2r

(27)

Устремим у к п. Тогда формула (27) примет вид

Подставим выражения (25) и (28) в формулу (24). Учитывая соотношение (22), получим для К (г) следующее разложение в ряд, показывающее, что эта функция (она называется функцией Вебера) линейно независима от

K.w=i(,+b)..(.)-i2;-fF(ir-

2г+п

(29)

При л = О под суммой в фигурных скобках надо понимать выражение

l+4+...+i.

Можно было действовать и другим способом. Принимая во внимание изложенное в п. 6.2.11, легко построить решение У\(г), линейно независимое от y2 = J(z), по формуле

у, (z) = JAz)

При любом v модуль yi{z) бесконечно возрастает, если z стремится к нулю. Отсюда следует, что y,(z) и J(z) линейно независимы.

Нетрудно показать, что можно подобрать числа А и В таким образом, чтобы yi(z) не отличалась от определенной выше функции V(z).

Замечание. В качестве второго решения дифференциального уравнения (13) используется также функция Неймана которая связана с функцией Вебера соотношением

Y, (i) = У, {Z) + (1п 2 - т) J, (Z).

(30)

Продифференцируем (26) по индексу v:

(.) = S 7Тг(+!-+1) (2- + ) (т)

ZMZ) = MZ)-Z2 r-l)lT(j-l + . + l + l) Ы

Отсюда найдем первую рекуррентную формулу:

zf, (z) = (z) - 27v+i (2). (31)

Точно таким же образом получим.

zA(z) - yMz)-{-zJ.-i{z). (32)

Вычитая и складывая (31) и (32), найдем ........

2JAz) = J.+ dz) + J.-x(z). (33)

2/ (Z) = Л-1 (2) - Л+1 (2). (34)

Для м=0 формула (31) примет вид

Jkz)==-A{z). (35)

Нули функции Jy(z) совпадают с максимумами и минимумами /о()--

Применяя формулу (23), определяющую бесселеву функцию второго рода К(г), легко удостовериться, что эта функция удовлетворяет тем же рекуррентным соотнощениям, что и функция /,(2). Значит, так же будет обстоять дело со всеми линейными комбинациями вида AJ(z)-\-BV(z), иначе говоря, с общим решением дифференциального уравнения (13). В частности, рекуррентным соотношениям (31)-(34) удовлетворяет функция Неймана Y,(2), определенная формулой (30), и функции Ханкеля, определенные ниже соотношениями (62).

7.5.5. Применение рекуррентных соотношений к вычислению некоторых интегралов, а) Рассмотрим интеграл

fzX.,(z)dz.

Продифференцируем произведение гЧ(г):

§[z%(z)] = zX(z)+vz-JAz). сравнив с формулой (32), мы можем записать правую часть в виде

2V ,(2).

Отсюда, интегрируя от Zq до z, находим формулу

г -

Г zX-iiz)dz = lzX{z)f. (36)

7.5.4. Рекуррентные соотношения. Продифференцируем формулу (17) по Z. Получим следующие выражения: