Таким же образом, но применяя на этот раз формулу (31), получаем

Z

/ z-J+(z)dz = ~[z-J{z)\l. (37)

б) Рассмотрим интеграл

Интегрируя обе части формулы (34), в которой v заменено на получим

Аналогично

2J,(z)=fj,+2(z)dz-fj,+i{z)dz

0 0 -

и т. д.

Складывая почленно всю эту цепочку равенств, найдем

/Л(г)йг = 2[У,1(г)-НЛ+з()+ I-

- . о . . /

Ряд, фигурирующий в правой части, очень быстро сходится. Соображения, излагаемые в конце п. 7.5.21, позволяют определить номер, начиная с которого члены этого ряда становятся пренебрежимо малыми.

в) Рассмотрим интеграл

/ = J z J (z) dz (т И п - целые положительные числа, т> п).

Этот интеграл можно записать в виде

1= j z- -z +4 (z)dz.

проинтегрируем по частям, пользуясь формулой (36):

/ = [ - -l2 +lJ +i(2)]o-(/К -К- 1) f Z --Z+Ч+l{Z)dZ.

иначе говоря.

/ = 2V +i (.2) - (те - К - 1) / г -Л+1 (2)

Таким же образом получим

Z Z .

- / - Л-и dz = г-17 +2 (z)-(m-n-3)f z -4n+2 () dz, о о

f г-2у 2 (Z) dz z ~4ns (z)-(m-n - 5)f z-4n+z () dz,

0 0

f z -+4n ,{z)dz =

= z->+4 + {z) - (m - n - 2k + l) z--4 {z)dz.

Если можно найти такое целое число k, чтобы т - k = п-\-k-\-\, т. е. если т - п - нечетное число, то мы снова приходим к интегралу, вычисленному в а). Но если т - li - четное число, то мы вынуждены продолжить вычисление до такого номера k, чтобы т - k = 0. При этом мы приходим интегралу от способ вычисления которого был показан в б).

7.5.6. Интегралы Ломмеля. Рассмотрим два дифференциальных уравнения:

z+z{l4-.)x = 0, z-hz(k4~y)y = 0. .

Умножим первое на ~, а второе на -После вычитания получим иначе говоря.

Проинтегрируем обе стороны последнего равенства от нуля до z. Если в полученной формуле заменить у на J{kz), а jc на /,(/2), то найдем при R(v)>-1

(Й2 ;2) jjkz)J(lz)zdzz{j,(kz):~JAlz)}-о

dJ, (Iz) , dJ jlz) . dz - d{lz) ~

Отсюда

f J,{kz)J.{lz)zdz = - {lJ,ikz)j,(lz) - kJ,ilz)jy(kz)}.

Согласно соотношению (31), имеем

jl(kz)==~J4kz) - J.+i(kz),

jUlz)=-~J.ilz)~J,+i{lz). .

Л ilz) = - Л {Iz) Н- Л-1 (.iz).

то получили бы

f Л (kz) л (Iz) zdz = -jbjr {lJ,-i (Iz) Л (kz) ~ kJ, , (kz) I (Iz)]. (39)

Формулы (38) и (39) не годятся, если k - l. В этом случае непосредственное вычисление дает

г кг

f zll(kz)]z = f Z[J{Z)]dZ. /?(v)>-1.

Интегрируя по частям, получим

кг kz

f z[Mz)Ydz = [J,(kz)f - f zb,(z)jUz)dz.

Учтем, что Jy(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению (13). Это дает

, - zb.(z)==zb (z}-i- zjl(z)~yJ,(z).

Исследуемый интеграл можно теперь записать в виде

г . kz kz

f z IMkz)] dz = [Л (kz)f -Jfdizy: (z)f) ---fd [Л (г)]2.

иначе говоря.

f z ГЛ (kz)] - dz = z{ [j: (kz)f + (I - -J (kz)f]. (40)

Это и есть искомая формула.

Формулы (38)(40) называются интегралами Ломмеля.

7.5.7. Соотношение между двумя функциями, индексы которых отличаются на целое число. Формула (37), которую можно написать в виде

Z-4,(z)=--lz-%(z)b

поможет установить важное соотношение между двумя бесселевыми функциями, порядок которых отличается на целое число ге,

Действительно, если в предыдущей формуле заменить v на v-]-l, получим

2--4+2 (Z) = - у i iz-J.i(z)] = ~тЦ-ТЖ f ~-v ()l }.

откуда

j л(kz) 7, (iz) zdz-j {kJ, (Iz)Л+1 {.kz) - IJ (kz)I 1 (Iz)]. (38)

Если бы мы выше подставили в полученную формулу выражения, вытекающие из соотношения (32):

jUkz)=--J4kz) + J..,(kz),