*) Этот ряд называется рядом Фурье - Бесселя. Об условиях, которым должна удовлетворять функция /(х), чтобы ее можно было разложить в ряд Фурье - Бесселя, см. [19], гл. 18.

или, в сокращенном виде,

. 2-4+2() = (-i)-(i{-4()}

и Т. Д. Постепенно найдем

z--%+n(z) = (-irj{z-%(z)}. (41)

Это и есть искомое соотнощение. Точно так же из формулы (36), которую напищем в виде

-{rJAz)] = zV,.y(z),

получим

- J,-n(z)=j{zX(z)]. (42)

7.5.8. Применение интегралов Ломмеля к разложению в ряд по бесселевым функциям. Последовательность функций

YxJ {xyx), yicJ (k2x). YxJ (kix). ....

в которых Xj, Xg, X;, ...-корни уравнения J (x) = 0, представляет собой последовательность ортогональных функций в интервале (0,1) (см. п. 2.1.2).

Действительно, формула (38) дает

{k-P) f J,(kz)Jn(lz)zdz = X {kJ (lx)J,,(kx) - lJ,{kx)J ,x)].

Если положить X = 1, Z = X, A =: X, то 1

f Yz 7 (X,) Гz Jn (hjZ) dz = 0, X Ф \.

Из формулы (40) находим

f Z {Jn (kz)} dZx{ [jn (kx)Y + ( 1 - [Jn (kx)f\ .

при X = 1 и k - Xi получим 1

/ {VJn(hz)f dZ = {j (h)f.

Рассмотрим теперь функцию /(x). Если нам нужно найти разложение ее в ряд вида *)

/(х)= 2 Л(>/-).

то коэффициенты будут даны выражением

2 J xf(x)Jn(KiX)dx

2 J х/о (Х,-х) dx

Исходя из соотношений (35) и (36), получим

а,= -

2 1 }гхУо (>чх) (>чх) 2 1 х/о (X) rfx

Отсюда ряд будет

2Уо (Х,х) 2Уо (Хгх) 1 2/о(Х,-х)

M,(>2) V, (>ч) ,

7.Б.9. Бесселевы функции первого и второго рода с полуцелым индексом. Рассмотрим дифференциальное уравнение (13) для частного случая v=i/2- Тогда это уравнение запишется в виде

d y . 1 dy

Положим y = uz . Подстановка дает

d u .

Отсюда

u(z)-Acos z-\-Bsinz,

y(z)=(Acosz-{-Bsinz). V z

Попробуем определить коэффициенты A к В таким образом, чтобы у совпало с функцией Ji или J \. Так как yi(0) = 0, то коэффициент А

1 ~~ Т

должен быть равен нулю. Сравнивая разложение в ряд J\ {z) и у (г), получим

Отсюда

У1(г) = ]/ sin2. (43)

Точно такое же вычисление дает для J \:

1(.г)=:]/со5г, (44)

Пример. Требуется разложить в промежутке от О до 1 в ряд вида

2 cliJo Q-iX) функцию / (х) = 1. Предыдущая формула дает

Аналогично последовательным применением (33) получим: J(2:)= / [(- ijsina:-I-C0S2:],

() = [(1 sin + (J-- 1),

cos Z

4<>=/l!-(l-)--(7-l)

cos г

, / X ./ 2 ?105 45 , ,\ . /105 10\ I

1/ l)sin-(--)cosJ.

, . . / 2~[(105 W . , /105 , 45 , ,\ 1

Пользуясь соотношениями (41) и (42), в которых v соответственно придаются значения /г и - /г- найдем

/о +± uf I sin г ) 4 тда] -}

2 n+i- af jcosg

j cos г 1

(47)

(48)

Если в формуле (23), определяющей функцию К, (г), придать v значение ±( +V2)> то получим

У 1 (г) = (-l) +iy

к ,(г) = (-1) 7 1(г).

-п-- п+-

(49) (50)

7.5.10. Применение бесселевых функций к вычислению интегралов Френеля. Интегралы Френеля, особенно часто встречающиеся в задачах по дифракции, были определены в п. 7.3.7 следующими формулами:

С(у)= I casdt. 5(v)= j sindt.

Если в формуле (23), определяющей К, (г), положим = V2> то

(z) = - (Z) = - cos Z. (45)

Точно так же

Если в рекуррентной формуле (33) приравнять v== ±V2> то найдем

sin г \

--cos).