Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу =+?+i(4)+...+i(ir+.... сходятся абсолютно *), то ряд для произведения равен произведению рядов для сомножителей. Соберем члены при одинаковой степени t. Легко заметить, что коэффициент при t представляет степенной ряд по z, который совпадает с рядом для функции / (г), а коэффициент при совпадает с рядом для J (z). Мы можем, следовательно, написать е t)=.j(z) + tJ,iz} + ty2{z)+ ... -t J (z)+ ... ... +У-1 (z) -+J 2iz)+ ... + -L-J ()+ (52) или же, в силу соотношения (22), Д О 4) £ 4 (z) \t +(-1) 1 функция е 2 V < / называется производящей функцией для бесселевых функций первого рода целого порядка. *) Ряды сходятся абсолютно для всех х а t, кроме = О, когда второй ряд расходится. Этот случай далее из рассмотрения исключается. Положим -g- = г. После подстановки, учитывая формулы (43) и (44). получим С(у) = f \/ coszdz=fj iiz)dz, 6 . 6 2 V V W = y /1/4 smzdz = fjj (z)dz. 6 62 Принимая BO внимание метод вычисления, указанный в п. 7.5.5, можно написать C(V)=7J (V) + J5(V) + J9(V)+ .... 222 .5(v) = J(v)+/7 (v) + Jn(v)+... . 2 2 2 Оба ряда очень быстро сходятся и особенно удобны при вычислении C(v> и S(y). 7.5.П. Случай, когда индекс равен целому числу ч - п. Рассмотр.чм ряд для функции L (t -1\ ?1 -i. g2V t)ee Так как ряды sin(2Sine)=2 2 2p-i()sin(2/7- 1)6. (54) Заменяя 6 на - 6, получаем cos(2:cos6)=/o(2:)+2 2 (-l)/22)cos2/?6, . (55) Sin(2:C0Se)= - 2 2 (-1) -20-! С) COS (2/7- 1)6. (56) Эти формулы дают разложения в ряд Фурье функций, находящихся в левых частях равенств. Пользуясь классическим способом вычисления- коэффициентов ряда Фурье, умножим обе, части уравнения (53) на со5 2/г6 и проинтегрируем от О до т:. Тогда, заметив, что все интегралы, содержащие произведение cos2/г6cos2/7б, равны нулю, если кФр, и равны если p=k, получим 4* (2) = f cos(2sin6)cos2/26 J6. 6 Применим этот же способ к формуле (54). Тогда j2 y{z)= I sin (г sin 6) sin (2ft-1)6 J6. Обе полученные формулы можно представить в виде одного соотношения Л; (z) = 4 у* f (г sin 6) COS иЬ -- sin (г sin 6) sin иб] cfG = о = y*cos( 6 -sinS) je. (57) Действительно, если п - четное число, то второе слагаемое в квадратных скобках равно нулю. Если же п - нечетное число, то равно нулю, первое слагаемое *). *) Интеграл в (57) называется интегралом Бесселя. Ряд справа сходится при всех z и при всех t + . Положим t - ei. После подстановки получаем gjz sin е = 2 [е + ( !) e-smej. Группируем в сумме отдельно четные {п = 2р) и нечетные члены (к=2г -1): оо со e;zsine,y(2:) + 2 2 Лр(2)со5 2/7б--2У 2 V-i(2)sin(2/?- Ijb. Приравнивая вещественные и мнимые части, находим cos(2:sine)=7(,(2:)+2 2 Лр(г)со8 2/7б. (53) 7.5.12. Представление У, (г) через определенный интеграл. Сравнивая формулы (11) и (12), получим Г(а+р) -Г ( )Г(р) J cos2 -i 6sin2P-i6 je. Положим а = г--, p = v---2-. Тогда предыдущее выражение можно записать в виде у- I C0S2- 6 Sln 6 т. Г(г +v + 1) Если ввести выражение для Г (л--j-v-f-1) в ряд для У,(г) (формулу (17)) и учесть выражение для Г +-g-) по формуле (8), то к 1сГ Р-Т- о г=0 о (-1)г2 COS ( Сумма под знаком интеграла представляет собой разложение в степенной ряд функции cos (z cos 6). Отсюда sin26cos (г CDS 6)6, Л(2)== - sin2ecos(2:cose)je, (58) Считая и = cos 6, получим (59) (60) Единственное ограничение относится к индексу v. который должен быть таким, чтобы Rv-f--j>0.
|