Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 [ 122 ] 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

=+?+i(4)+...+i(ir+....

сходятся абсолютно *), то ряд для произведения равен произведению рядов для сомножителей.

Соберем члены при одинаковой степени t. Легко заметить, что коэффициент при t представляет степенной ряд по z, который совпадает с рядом для функции / (г), а коэффициент при совпадает с рядом для J (z). Мы можем, следовательно, написать

е t)=.j(z) + tJ,iz} + ty2{z)+ ... -t J (z)+ ...

... +У-1 (z) -+J 2iz)+ ... + -L-J ()+ (52) или же, в силу соотношения (22),

Д О 4) £ 4 (z) \t +(-1) 1

функция е 2 V < / называется производящей функцией для бесселевых функций первого рода целого порядка.

*) Ряды сходятся абсолютно для всех х а t, кроме = О, когда второй ряд расходится. Этот случай далее из рассмотрения исключается.

Положим -g- = г. После подстановки, учитывая формулы (43) и (44). получим

С(у) = f \/ coszdz=fj iiz)dz, 6 . 6 2

V V

W = y /1/4 smzdz = fjj (z)dz.

6 62

Принимая BO внимание метод вычисления, указанный в п. 7.5.5, можно написать

C(V)=7J (V) + J5(V) + J9(V)+ ....

222

.5(v) = J(v)+/7 (v) + Jn(v)+... .

2 2 2

Оба ряда очень быстро сходятся и особенно удобны при вычислении C(v> и S(y).

7.5.П. Случай, когда индекс равен целому числу ч - п. Рассмотр.чм ряд для функции

L (t -1\ ?1 -i. g2V t)ee

Так как ряды



sin(2Sine)=2 2 2p-i()sin(2/7- 1)6. (54)

Заменяя 6 на - 6, получаем

cos(2:cos6)=/o(2:)+2 2 (-l)/22)cos2/?6, . (55)

Sin(2:C0Se)= - 2 2 (-1) -20-! С) COS (2/7- 1)6. (56)

Эти формулы дают разложения в ряд Фурье функций, находящихся в левых частях равенств. Пользуясь классическим способом вычисления- коэффициентов ряда Фурье, умножим обе, части уравнения (53) на со5 2/г6 и проинтегрируем от О до т:. Тогда, заметив, что все интегралы, содержащие произведение cos2/г6cos2/7б, равны нулю, если кФр, и равны если p=k, получим

4* (2) = f cos(2sin6)cos2/26 J6. 6

Применим этот же способ к формуле (54). Тогда

j2 y{z)= I sin (г sin 6) sin (2ft-1)6 J6.

Обе полученные формулы можно представить в виде одного соотношения

Л; (z) = 4 у* f (г sin 6) COS иЬ -- sin (г sin 6) sin иб] cfG = о

= y*cos( 6 -sinS) je. (57)

Действительно, если п - четное число, то второе слагаемое в квадратных скобках равно нулю. Если же п - нечетное число, то равно нулю, первое слагаемое *).

*) Интеграл в (57) называется интегралом Бесселя.

Ряд справа сходится при всех z и при всех t + . Положим t - ei. После подстановки получаем

gjz sin е = 2 [е + ( !) e-smej.

Группируем в сумме отдельно четные {п = 2р) и нечетные члены (к=2г -1):

оо со

e;zsine,y(2:) + 2 2 Лр(2)со5 2/7б--2У 2 V-i(2)sin(2/?- Ijb. Приравнивая вещественные и мнимые части, находим

cos(2:sine)=7(,(2:)+2 2 Лр(г)со8 2/7б. (53)



7.5.12. Представление У, (г) через определенный интеграл. Сравнивая формулы (11) и (12), получим

Г(а+р) -Г

( )Г(р) J

cos2 -i 6sin2P-i6 je.

Положим а = г--, p = v---2-. Тогда предыдущее выражение можно записать в виде

у- I C0S2- 6 Sln 6 т.

Г(г +v + 1)

Если ввести выражение для Г (л--j-v-f-1) в ряд для У,(г) (формулу (17)) и учесть выражение для Г +-g-) по формуле (8), то

к 1сГ Р-Т- о г=0 о

(-1)г2 COS (

Сумма под знаком интеграла представляет собой разложение в степенной ряд функции cos (z cos 6). Отсюда

sin26cos (г CDS 6)6,

Л(2)== -

sin2ecos(2:cose)je, (58)

Считая и = cos 6, получим

(59)

(60)

Единственное ограничение относится к индексу v. который должен быть таким, чтобы Rv-f--j>0.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 [ 122 ] 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251