c-jca

7.5.14. Теорема сложения). Положим, что в формуле (52)z=x-f у. Тогда

gl (-т) . -т) . j у),

п=-со

.иначе говоря, = : с

+ 00 -i-oo +СО .

P=-CO Q= - CO n~-CO

Если произвести умножение рядов и приравнять коэффициенты при t , то получим

+ СО

р= -оо

Пользуясь формулой (22), можно в этом ряду использовать только функции с положительными индексами. Для п = 0 имеем

Мх+у)их)Му)~Мх)Му)+ +2(-1Г(-)4(у)4-

для п= I

л (х + у) = Jo (X) J, (у) + Ji (х) Jo (у) - IJ2 (х) Л (у) + Л (У) Ji т +

... 4- (-1) [J (X) J , (у) +J (у) У 1 (X)] + ... Общая формула будет .

i ./pW-/ -p(y)+ 2 (-in-/pW+ (3) + p(y)V Wl-

р= о р= 1

(61)

) Формула умножения аргументов дана в п. 8.5.7.

7.5ЛЗ. представление ,(2) с помощью интеграла Коши. В формуле (17), дающей разложение в ряд функции J{z), заменим r(v-)-/r--1) его выражением через интеграл Коши, указанным в п. 7.4.5 [формула (10)], Получим - - .

со Y

> /..ч -(2\у -у (-1)- г [ж) е dt

r=0 С ,

иначе говоря,

Это и есть искомое выражение без какого-либо ограничения для v и z. Контур интегрирования здесь тот же, что и на рис. 7.12, или любой эквивалентный ему. Это может быть контур Бромвича, если интегралы по дугам окружности бесконечного радиуса, .расположенным слева от него, будут равны нулю, что справедливо при R(v)>-1. В этом случае имеем

c+jco

j,(z)=yf [Р,(2)С05ф -Q2)sincp],

(63)

l v(.)= 4 [P,(2)sin9H-Q,(2)coscp]. - (64)

H}\z)=}Jl-einPAz) + JQ.(z)\, .......V. (65)

(г) = e-i* [P, iz) - jQ., iz)].- (66)

JAZ)-l 21(82) + 4!(8г)- ., ,

. . (68)

Л (z) ~ (4v-l)(4v-3)(4v-y)

1!82 31(82)3 (t>J)

*) При целых м правые части (62) становятся неопределенными. Эта неопределенность может быть раскрыта гак же, как это было сделано в п. 7.5.3 для бесселевых функций второго рода.

7.5.15. Бесселевы функции третьего рода или функции Ханкеля. Определение, Положим ......

iz) = J, iz) ~ JY. iz) = - J ->Cn7/

Функции H и /4 называются функциями Ханкеля соответственно первой и второй, или функциями Бесселя третьего рода *). Мы покажем целесообразность введения этих новых функций в последующих пунктах.

Непосредственно из определений функций Ханкеля - формул (62) - следует, что

H!Az)eH?iz), HAz) = e-Hf\z). В частности, если v равно целому и, то

Яи) = (-1) М\). <?Uг) = (-l) ЯL(). Если v=-, то прямо из (62) имеем ;

\ () - - j \/ ei-, Н\ iz)=. .

H iz) = jA/e-i-, . Я(2)=/Т,-У..

Из этих выражений с помощью рекуррентных формул (33), которые здесь также имеют место, можно вычислить функции Ханкеля для любого индекса v

, 1 вида n +

7.5.16, Асимптотические разложения. Можно показать, что для больших значений \z\ и для -Y<arg2<4-y имеют место формулы:

Выражения для P(z) и представляют собой асимптотические ряды.

Можно показать, что если в них ограничиться k-u членом, таким, что

k> для P(z) (70)

/г> для Q{z). (71)

то погрешность будет меньше первого отброшенного члена. Вычисление производится следующим образом: отыскивается член ряда (68) и (69), наименьший из всех возможных, номер которого удовлетворяет условиям (70) и (71). Так как при этом погрешность меньше первого отбрасываемого члена, то, остановившись на предыдущем члене, мы проведем вычисление с максимальной точностью.

Замечание. Если =:п-{-- то ряды (68) и (69) обрываются и

приводятся к выражениям, совпадающим с указанными в п. 7.5.9. Формулы (63) - (66) при этом оказываются точными.

7.Б.17. Нахождение численных значений бесселевых функций.

Пример. Требуется вычислить Jj(2) и К;(2). Имеем

9=2-- g = -20°,4, sincp=-0,348, 0059= 0,938,

/j(2)= 1 +0,0293 - 0,0090 + 0,0156-

Qi (2) = 0,1875 - 0,0128 + 0,0086 - 0,0156 + ...

Здесь третий член наименьший. Так как условия (70) и (71) выполняются, то Pj (2) = 1,0293 с погрешностью, меньшей 0,009, Qi (2) = 0,1747 с погрешностью, меньшей 0,0086.

Отсюда,

У,(2)= -(1,0293 0,938 + 0,1747 0,348)= 0,580, ГД2)=-(-1,0293 . 0,3484-0.1747 0,938)=-0,109

с погрешностью, меньшей 0,006.

Указанная оценка непосредственно подтверждается таблицами п. 7.5.46. Это показывает, что асимптотические разложения (68) и (69) дают хороший результат даже для не очень больших значений z.

7.5.18. Асимптотические выражения для бесселевых функций при больших значениях аргумента. Асимптотические разложения (63) - (66) легко позволяют определить, предельные выражения для бесселевых функций при очень больших значениях аргумента г. Если z вещественно и бесконечно возрастает, то P{z) стремится к единице, а Q,(2:) -к нулю. Следовательно, бесселевы функции получат следующие асимптотические выражения;

Mz)-/ Ь у. () ~ sin 9.