Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 [ 124 ] 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

При очень большом v имеем

1Л(и + Уг )

Это выражение бесконечно возрастает вместе с v. То же имеет место и для I К, (г). Для функций Ханкеля оказывается, что когда одна из них стремится к нулю, модуль другой бесконечно возрастает. Это объясняет, почему необходимо было дополнить бесселевы функции функциями Ханкеля. С помощью последних легко сформулировать граничные условия для общего интеграла уравнения (13), когда комплексная переменная z обладает бесконечно возрастающей мнимой частью.

7.5.19. Корни бесселевых функций. В силу общих соображений, доказанных в п. 6.2.11, решение уравнения Бесселя (13) может иметь лишь простые корни (за исключением случая z - 0, v > 1). Два линейно независимых решения уравнения (13) не могут иметь общих корней, и корни эти взаимно разделены.

Сейчас мы докажем несколько теорем, относящихся к корням бесселевых функций У, (х) для вещественных х и v> - 1.

Теорема, Все корни (х) вещественны.

Действительно, пусть - комплексный корень. Он не может быть чисто мнимым, так как при этом все члены ряда

/-!r(,--f v-f 1) \ 2 )

были бы положительны и функция J(Zq) не могла бы быть равна нулю.

Он не может быть и комплексным. Действительно, пусть z* - сопряженное

комплексное число, которое также является корнем, потому что J,(.v) -

функция вещественная. Из формулы (38) имеем тогда

о 0 -.о

что дает для х = 1

где 9 = г - 5 ( ~ ) формулы показывают, что имеется аналогия между бесселевыми и круговыми функциями, а также между функциями Ханкеля и экспоненциальными функциями от чисто мнимого аргумента.

Из формул (72) видно, что бесселевы функции стремятся к нулю, если Z вещественно и бесконечно возрастает. Если же z - комплексное число и только его мнимая часть бесконечно возрастает, то дело обстоит иначе. Действительно, пусть z = u+-jv. Тогда

/~9~ pjf-i-p-jf

, -Г I у W 7Ф=-г + У[и - 2 2 )

1 11 1



Это равенство не может иметь места, так как величина под знаком интеграла существенно положительна.

Теорема. Корни и ./.1 взаимно разделены.

Из формул (36) и (37) получаем посредством дифференцирования

Первая формула показывает, что между двумя последовательными корнями х~7,(х) имеется по крайней мере один корень jc~y,.i(x).

Вторая формула показывает, что между двумя последовательными корнями хЛ-мС-) имеется по крайней мере один корень xJx).

Формула (31) Показывает, что у функций и У.,, нет общих корней, так как все корни функции У простые. Повторное применение рекуррентных формул и формул, из них вытекающих, позволяет показать, что корни и также взаимно разделены.

7.5,20. Кривые Jo{x), Jt(x), Jiix), Jsx) (рис. 7.14).

Ш 15

Рис. 7.14

7.5.21. Поверхность z=f(x, \) = J{x) (рис. 7.15).

Поверхность z~J.{x) показывает, как изменяются функции /,(л:), если непрерывно изменять переменные л: и v. Для v = 0 функция Jix) равна 1 при х - 0. Это единственная функция Бесселя, имеющая при л: = О конечное значение, не равное нулю. Для v>0 все функции У(х) равны нулю при x~Q.

Формулу (31) можно записать в виде

j:(X)=:(x)-j,+i(x).

Разложим правую часть в ряд по д: и рассмотрим член с низшей степенью X. Для малых значений х можно написать

jUx).

у j

r(v-l-l) 2



Если v>l, то Л(0)=0, т. е. касательная горизонтальна в начале координат.

Если V < 1, то Л (0) = оо, т. е. касательная вертикальна в начале координат.

Если v=l, то У, (0) =-g , т. е. касательная наклонна в начале координат.

Это изменение наклона касательной ясно видно на рис. 7.16. Функция Jiix) и, конечно, функция У х(л:) - единственные бесселевы функции первого рода, имеющие наклонную касательную в начале координат.


ХО 12 3 5 6 76 910t11Z13ni5iei71dWZO

JyfX)

Рис. 7.15.

На рис. 7.16 подробно показана поверхность J(x) для значений v, заключенных между -I и -(-2, и значений х, заключенных между О и +2. Поверхность проведена до кривой, соответствующей первым корням функции У, (х) при различных, значениях v.

Если V отрицательно, то функции У, (л:) при л: = О равны ± оо в зависимости от знака (-1) (где ге -ближайшее целое число, меньшее -v).

899999999999999999999999991



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 [ 124 ] 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251