Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу При очень большом v имеем 1Л(и + Уг ) Это выражение бесконечно возрастает вместе с v. То же имеет место и для I К, (г). Для функций Ханкеля оказывается, что когда одна из них стремится к нулю, модуль другой бесконечно возрастает. Это объясняет, почему необходимо было дополнить бесселевы функции функциями Ханкеля. С помощью последних легко сформулировать граничные условия для общего интеграла уравнения (13), когда комплексная переменная z обладает бесконечно возрастающей мнимой частью. 7.5.19. Корни бесселевых функций. В силу общих соображений, доказанных в п. 6.2.11, решение уравнения Бесселя (13) может иметь лишь простые корни (за исключением случая z - 0, v > 1). Два линейно независимых решения уравнения (13) не могут иметь общих корней, и корни эти взаимно разделены. Сейчас мы докажем несколько теорем, относящихся к корням бесселевых функций У, (х) для вещественных х и v> - 1. Теорема, Все корни (х) вещественны. Действительно, пусть - комплексный корень. Он не может быть чисто мнимым, так как при этом все члены ряда /-!r(,--f v-f 1) \ 2 ) были бы положительны и функция J(Zq) не могла бы быть равна нулю. Он не может быть и комплексным. Действительно, пусть z* - сопряженное комплексное число, которое также является корнем, потому что J,(.v) - функция вещественная. Из формулы (38) имеем тогда о 0 -.о что дает для х = 1 где 9 = г - 5 ( ~ ) формулы показывают, что имеется аналогия между бесселевыми и круговыми функциями, а также между функциями Ханкеля и экспоненциальными функциями от чисто мнимого аргумента. Из формул (72) видно, что бесселевы функции стремятся к нулю, если Z вещественно и бесконечно возрастает. Если же z - комплексное число и только его мнимая часть бесконечно возрастает, то дело обстоит иначе. Действительно, пусть z = u+-jv. Тогда /~9~ pjf-i-p-jf , -Г I у W 7Ф=-г + У[и - 2 2 ) 1 11 1 Это равенство не может иметь места, так как величина под знаком интеграла существенно положительна. Теорема. Корни и ./.1 взаимно разделены. Из формул (36) и (37) получаем посредством дифференцирования Первая формула показывает, что между двумя последовательными корнями х~7,(х) имеется по крайней мере один корень jc~y,.i(x). Вторая формула показывает, что между двумя последовательными корнями хЛ-мС-) имеется по крайней мере один корень xJx). Формула (31) Показывает, что у функций и У.,, нет общих корней, так как все корни функции У простые. Повторное применение рекуррентных формул и формул, из них вытекающих, позволяет показать, что корни и также взаимно разделены. 7.5,20. Кривые Jo{x), Jt(x), Jiix), Jsx) (рис. 7.14). Ш 15 Рис. 7.14 7.5.21. Поверхность z=f(x, \) = J{x) (рис. 7.15). Поверхность z~J.{x) показывает, как изменяются функции /,(л:), если непрерывно изменять переменные л: и v. Для v = 0 функция Jix) равна 1 при х - 0. Это единственная функция Бесселя, имеющая при л: = О конечное значение, не равное нулю. Для v>0 все функции У(х) равны нулю при x~Q. Формулу (31) можно записать в виде j:(X)=:(x)-j,+i(x). Разложим правую часть в ряд по д: и рассмотрим член с низшей степенью X. Для малых значений х можно написать jUx). у j r(v-l-l) 2 Если v>l, то Л(0)=0, т. е. касательная горизонтальна в начале координат. Если V < 1, то Л (0) = оо, т. е. касательная вертикальна в начале координат. Если v=l, то У, (0) =-g , т. е. касательная наклонна в начале координат. Это изменение наклона касательной ясно видно на рис. 7.16. Функция Jiix) и, конечно, функция У х(л:) - единственные бесселевы функции первого рода, имеющие наклонную касательную в начале координат. ХО 12 3 5 6 76 910t11Z13ni5iei71dWZO JyfX) Рис. 7.15. На рис. 7.16 подробно показана поверхность J(x) для значений v, заключенных между -I и -(-2, и значений х, заключенных между О и +2. Поверхность проведена до кривой, соответствующей первым корням функции У, (х) при различных, значениях v. Если V отрицательно, то функции У, (л:) при л: = О равны ± оо в зависимости от знака (-1) (где ге -ближайшее целое число, меньшее -v). 899999999999999999999999991
|