Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [ 125 ] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

Это ИР относится к целым значениям v (v=: - п), когда мы, в соответствии с формулой (22), имеем функцию, только знаком (-1) отличающуюся


от J (x). По мере того как v принимает все больщие положительные значения, кривые, представляющие функции, все более лениво отклоняются от оси абсцисс.

Рассмотрим, например, функцию Jyix). Имеем

7j8(l) =0,0148- 10~ 7i8(5) =0,01631 lOl yjg(10) = 0,01524-10-. Jjg (15) = 0,03463, Jjg (20) = 0.2511.

Функция Jis(x) отчетливо отклоняется от оси Ox только при значениях х, близких к значению индекса.

Необходимо уточнить это важное свойство бесселевых функций, так как при разложении в ряд по бесселевым функциям бывает очень полезно определить номер, начиная с которого члены становятся пренебрежимо малыми.



Кривые на рис. 7.17 изображают наименьшие значения х, и Х2 величины X, для .которых

/Дл:1)=: 0,005, У,(л:2) = 0,001.

Для удобства графического изображения вместо х, и х отложены соответственно 2(v-X,) и V-Х2-

Найдем, например, для каких значений х, заключенных между О и Х2, Jiix) будет меньше 0,001. График рис. 7.17 дает v - Х2=9, откуда X2 = 36.


за 100 ООО 1000

Рис. 7.17.

S000

По мере возрастания х бесселевы функции колеблются вокруг оси Ох и их отклонения от оси убывают обратно пропорционально Ц/х. Кривые рис. 7.18 дают абсолютные значения первых максимумов и минимумов в зависимости от порядка v бесселевой функции.

7.6.22. Кривые J л(,х), з(л;), ..., УэСл) (рис. 7.19).

7.6.23. Кривые Ко (л), Fi(), КгСл), Kg (л), Yx) (рис. 7.20).

7.6.24. Поверхность z-f(x, \)=:К,(д;) (рис. 7.21).

Модифицированные бесселевы функции первого и второго рода

Заменив z на jz в дифференциальном уравнении (13), получим d y 1 dy

{i+$). = o.

(73)

dz ~ z dz

Решением этого дифференциального уравнения будет функция AJijz)-

7.6.26. Модифицированная бесселева функция первого рода. Положим Л = 7 . Модифицированной бесселевой функцией первого рода называют функцию

Л() = У Ч(У)- (74)




W 20 30 .50 . 100 500 1000

Рис. 7.18.

5000 V

0, 0,3 02 0.1 00 -01 -0.2 -0,3 -04 -05

15 V2.5

Vi.s

l1-

15-c

-0.5

-3.5

-2,5

-2,5

-1,5j

0 1 2 3 4 6 6 7 в Рис. 7.19.

m 11 12 IB



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [ 125 ] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251