572273

1182 21(82)2

]527tz

42 12 (42 12) (42 32) )

1!8г 2!(8г)2 Г-

Если R {£) > О, то вторым рядом можно пренебречь.

Если I ZI велико, а аргумент заключен между - тс и О, то

1 4у2 - Р (4у2 - Р) (4у2 - 3) 1!8г 2!(8г)2

-F=- е V2ir.z

Здесь также, если R (г) > О, вторым рядом можно пренебречь.

J 4у2 -Р (4у2 -Р)(4уг3 ) 1!8г 2! (82)2

Ряд для нее будет

Если v - не целое число, то в качестве второго частного решения уравнения (73) можно взять функцию / ,(2). Нетрудно доказать, что /{z} и I..{z) линейно независимы.

Если v равно целому числу п, то

/ (Z) = / / UZ) = f (-1) JnUz) = J- Jn UZ).

Отсюда

I-n{Z) = In{Z).

Следовательно, для целых значений индекса необходимо ввести другой частный интеграл, который оказался бы линейно независимым от I{z).

7.5.26. Модифицированная бесселева функция второго рода. Функция

/Дг)=4- /-v(2)-/.(2) ду

2 sin тем

представляет собой решение уравнения (73). Можно показать, что если устремлять v к целому числу , то функция К., {z) будет стремиться к функции K {z), линейно независимой от In{z). Эта функция называется модифицированной бесселевой функцией второго рода или функцией Макдональда. Вычислением, подобным приведенному в п. 7.5.3, можно установить для/С (г) разложение в степенной ряд, очень похожий на разложение, полученное для Y {z).

Функцию K{z) можно легко выразить через функцию Н\}{z). Заменив Z на jz в первой формуле (62), получим

/ - / JU)e~ - J->Uz) -v+i (г)

fi. Uz) - J - -- У -j- .

Отсюда

KAz)rfi?\jz). (77)

7.5.27. Асимптотические разложения. Если z велико, а аргумент z заключен между О и тс, то

/(С).~-- -1 (4v-P)(4v-3) 1 ,

V27iz\ 1!8г 2\(8г) (-1

f z-I, ,(z)dz = [z4,iz)]l,

g-z cos 6 COS e d%.

, sh 2

ch z

2 .

/ l()=/4

, ch 2

sh z--

Если I zI велико, а аргумент заключен между - тс и 4- то

\\%z + 2! (82)2 Л----]-

7.5.28. Рекуррентные формулы. Заменив z на jz в рекуррентной формуле (31), получим, умножая обе части на у~,

z У Ч Uz) = VX Uz) - fzr-X, Uz). .

Отсюда, применяя определение (74), имеем

Лz) = IЛz)~\-zI,+l(z). (78)

То же вычисление, примененное к формуле (32), дает

-i-Az) = -W+zI ,iz). (79)

Складывая и вычитая формулы (78) и (79), получаем

2Ж= (>+ -1 -Т ()- Л-1 () - iz).

Эти выражения аналогичны формулам (34) и (33), но не тождественны им. Полагая в формуле (78) v = О, получим

lo(z) = h{z). (80)

Функция K{z) не удовлетворяет найденным выше рекуррентным соотношениям. Действительно, поскольку H\z) удовлетворяет соотношениям (31) - (34), формула (77) приводит к выражениям

zKAz) = -yK,{z)~zK y{z), zK[{z) = yKz)~zK,{z).

Отсюда

-2KAz) = K,.i iz) + Ку iz).

-jK iz) = (z) - K,+, iz).

Поступая так, как это было сделано выше, можно, исходя из основных формул для функций J (z), легко установить следующие соотношения для модифицированных функций:

fz-I,(z)dz = lz-I(z)ll,