Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу (1)7 ch(z cos 6)sin2e df) = Y-K. г v + 7.5.29. Кривые /o(Jc), Л (Jc), Ai (л) (рис. 7.22 и 7.23). 7.5.30. Кривые /Го (л) и iiTi (л) (рис. 7.24). Функции Кельвина 7.5.31. Функции Кельвина нулевого порядка. В некоторых задачах требуется найти общий интеграл дифференциального уравнения Если принять k\ - ~jli. мы снова придем к дифференциальному уравнению (13), в котором-v = О, а z заменено на kz. Следовательно, общее решение уравнения (81) будет Параметр k, равен + flk. Возьмем положительный знак. Тогда общее, решение получит вид у = AJ, (kzfl) + BY, (kzJ4 Модули обеих функций Jikz/h) и YiUzfl-) бесконечно возрастают при бесконечно возрастающем z. Это обстоятельство затрудняет нахождение . О . 2 3 . Рис. 7.24. частного решения конкретных задач, в которых решение должно быть конечно на бесконечности.. Чтобы избежать этого, мы возьмем в качестве второго решения функцию К{кгру. Покажем, что она является решением уравнения (81). Действительно, заменив в формуле (77) z на kzji, получим KXkzp)r\H\kzP% Функция Ho\kzp представляет собой решение уравнения (81). Очевидно, что решением будет и KQ(kzfk). Общее решение (81) теперь можно представить в виде у = AJo ikzfb) + ВКо {kzfh). (82) Если положить k-\, то общее решение уравнения dz z dz будет y=AJo{zr) + BKo{zm. (83) Разложение в ряд для функции J{zf!) имеет вид / ,-=/л 1, ,-iiL liL ,-iiL i oKJ >-(1[)2 (21)2 (3!) -г Отделив вещественнзто и мнимую части, получим. J, izfb) = ber iz) + у bei () = 1 - () + i () . -IoIfW ~ТЗ!кЫ +w( 2) ~ } Функции ber (г:) (Bessel reelle - Бесселя вещественные) и b&i(z) (Bessel Imagltiaire - Бесселя мнимые) представляют собой так называемые функции Кельвина, связанные с функцией J. Легко показать, что 0izr ) = ber iz) - / bei {z). Аналогично определяются функции Кельвина кег (г:) и kei (г:), связанные со вторым решением KQzfl): Ко {zf) = кег {z) + J kei {z). Ко {zj-) = кег (z) - j kei (z). (85) Имеют место следующие разложения в ряды этих функций: toW=-(ln-+i)ber(2)+.Jbel(i)-.pL(.y(n ±) + -w(f;(>+4+i)+--
|