Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу 7.5.32. Функция Кельвина v-ro порядка. Подобным же способом можно определить функцию Кельвина v-ro порядка с помощью следующих формул: л(Л) = Ьег,(2) + уЬе1,(2). Л izf) = Ьег, iz) ~ j bei, iz). ( 1\ ГК, [zjj = кег,(Z) + Уkei,(z), / 1 \ УХ Ufl = кег, (2) - У kei, (z). 7.5.33. Представление функций Кельвина через модуль и аргумент. Кривые ЬегДг) и beiCz) (см. рис. 7.25) колеблются вокруг оси абсцисс. При интерполяции это представляет большое неудобство. Можно легко определить другие функции, ведущие себя более регулярно. Напишем Л (zp) = ber,(z) +У bei,(z) = Ж,iz) e положив отсюда iz) = / ber iz) + bei2 iz), 6 J) = arctg ; ber,(z)=Mz)cosez), bei,(2)=AI,(2)sine,(z). Таким же образом можно написать У~Х (У ) = ker,(z) + У kei,(z) = Л,(z) е >, положив отсюда Niz) /кег2 (2) + kei2 iz), (2) = arctg ; ker,(2r) = A/,(2:)cos<p,(z), kei,(2)=:A/,(z)sin<p,(z). 7.6.34. Производные функций Кельвина. Исходя из свойств Л (2) и K- iz), очень легко получить следующие формулы: ЬегZ = All (Z) cos (б, (Z) - ~), beiz = 1 (z) sin (ei(z) --j), ber> = 1{ Ж,+1 iz) cos (e,, iz) -1) - ,-1 (2) cos (б, 1 iz) -1) }, ber 2 =\{ Ж,, (2) sin (e,i (2) -j) - 7И , (2) sin (e, i (2) -1) M iz) = M iz), % iz)-b iz)-\-tfK in - целое число), ker z = Л/, iz) cos (z) - j, keiz == Л/i (z) sin (pi (z) - -j , 72 70 f8 +6 +4 *2 О -2 -4 -S -S -70 -12
Рис. 7.25. ,200 dx X сводится к уравнению (13) путем замены переменных kx = Z. Отсюда получаем общий интеграл Zikx). Рассмотрим в качестве примера дифференциальное уравнение у +-У + Ьу==0. Л90) Мы приведем его к типу (89) при помощи замены функции у = хи. Имеем х-и + (л + 2v) x--W -f {[(а - 1) V + v2] х-2-I- bx] и = 0. Если выбрать v таким образом, чтобы а-j-2=1, то предыдуид.ее уравнение преобразуется к виду (89): + т +(-5) ==о. Отсюда общее решение уравнения (90) будет Г-а у = х 2 Z{xYb). Укажем несколько типов уравнений, общее решение которых строится при помощи бесселевых функций. Заменой переменной и функции их легко свести к каноническому виду (13). Для краткости мы ограничимся только приведением окончательных результатов. Уравнение y + y + {bx + ii]y==0 (91) К 2 = I { (2) COS (<р,+, iz) -y-.N , iz) sin (<p, , (2) -1)} , liei z = i- { Л,+ 1 (z) sin (<p,+ i (z) - x) ~ --i (Pv-i (2) - t) } N iz) = N(z), <p (z) = (pz)-f-ftit (ft - целое число). 7.5.35. Графики функций Ьегz, beiz, Mq(z), %(z) (рис. 7.25 и 7.26). Диффереициальиые уравнения, решение которых может быть выражено через решение дифференциального уравнения Бесселя При решении различных задач уравнение Бесселя редко встречается в каноническом виде (13). Полезно уметь привести в тех случаях, когда это возможно, решение рассматриваемого уравнения к решению уравнения (13). Для упрощения записи полагаем AJiz) + BViz) = Ziz), обозначив тем самым через Ziz) общее решение уравнения (13). 7.5.36. Основные типы. Уравнение
|