Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [ 131 ] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

На рис. 7.31 даны примеры колебаний мембраны, равномерно натянутой на круговую рамку.

7.5.41. Собственные электромагнитные колебания резонатора, имеющего форму кругового цилиндра. Будем предполагать, что вещество, образующее стенки, имеет бесконечно большую проводимость и что резонатор замкнут двумя поперечными сечениями, отстоящими друг от друга на длину /. Ограничимся рассмотрением синусоидальных функций времени. В качестве системы отсчета возьмем систему цилиндрических координат, причем за ось Oz примем ось цилиндра. Положим х -z, х - р, х = <. При этом условия Бромвича (см. п. 6.3.13, формула (68)) выполняются, так как е,= 1, €=1, ез=р. Функция и Бромвича (потенциал электрических колебаний) задается уравнением

которое совпадает с уравнением (36) п. 6.3.7, т. е. с уравнением Ш-\~кЮ = 0 в цилиндрических координатах. Соответствующее произведение Лапласа равно

cos cos / , . ==sinsinr/P)

Если внутренность цилиндрического резонатора пуста и, в частности, если йалый коаксиальный проводящий цилиндр не изолирует ось Oz от области существования U, то поле должно иметь конечные значения при р = 0. Мы вынуждены тогда исключить функцию Y. Случай с коаксиальным проводником разбирается в п. 7.5.43.

Предположим, что радиус-вектор может свободно поворачиваться на целое число окружностей. (Случай радиальной перегородки рассматривается в конце данного п}гнкта.) При этом поле должно снова получить исходное значегие; следовательно, v равно целому числу п. При таких условиях произведение Лапласа будет

г г 1 , cos cos

Электромагнитные поля типа поперечного электрического и поперечного магнитного даны уравнениями (85) и (86) п. 6.3.13. Обозначив через производную У по аргументу ар, получим для поперечной магнитной волны (волны Е):

Е.= аУЛар)2пО-EgajAap):n:f-~gze>K £ ( p) - - Sin уш

Ч р П\ V COS т QQS ч

я, = о.



р~ IR nrrnz , (h \ - sin . miz jjyt =--7Г- Ыр) cos ?sin-p-. ,

0 = - / / 7 Л (1P) cos COS .

I, . yjk T, A e ll \ cos mics

ДЛЯ поперечной электрической волны (волны Н):

£, = 0. .

Р р у Е f /-COS 1 Sin

я.== ч(р):°>т,т>--.

и / / ч COS - Sin jkvt

Обозначим через R радиус цилиндра. Тогда требование равенства нулю тангенциальных составляющих электрического поля на стенках цилиндра приводит к граничным условиям

fpfO при 2 = 0 и zU Е = Е = 0 при р = /?.

Они вынуждают определять параметры а к q для волны Е с помощью соотношений

J{aR)-Q), q~ {т - целое число)

и за произведение Лапласа для этой волны принять выражение

4( P)s°n Тсозг.

Аналогично для волны Н параметры а а q следует определить из соотношений

jn(ciR) - 0, q - - (tn - целое число) и принять за произведение Лапласа

Обозначив через не равный нулю i-й корень уравнения J (x) = 0, а через а,- - не равный нулю г-й корень J (x) = 0, получим следующие выражения для полей.

Поперечная магнитная волна (волна Е):

X? / \, \ cos n№z .



Если полость внутри пустая, частота этого колебания будет равна

271 ~ 2 / 71:2/2 -1- ,2

Самая низкая частота соответствует т = 0 а первому корню Jq (х) - 0. Она равна, следовательно,

2,40483 - 3 Юо 72 145

2iR ~ 2R

если R выражено в сантиметрах.

Поперечная электрическая волна (волна Н):

Мгц,

. fee; , / U, / С; \ cos . TtlTZZ jh-ut

о? / а, \ cos тт.2 ., ,

= (p)sin тsin-.-

- IR

cos micz jkvt

sin TCOs -

sin теяг /ьи/

cos -e -

в пустой полости частота этого колебания равна

kc с f <?:

Самая низкая частота соответствует т=\. Первый неравный нулю корень Уо(х) = 0 равен 3,8317, а первый неравный нулю корень Ji{x) = 0 равен 1,8412 (см. таблицу в п. 7.5.49). Следовательно, самая низкая частота для волн Н соответствует не и = 0, а п=\.

Различные колебания, которые могут существовать внутри цилиндрического резонатора, определяются совокупностью допустимых значений чисел и, т, 1.

Число т определяет периодичность вдоль направления, параллельного Oz (рис. 7.32). Число. п определяет периодичность повторения, если радиус-вектор вращается вокруг Oz

I I (рис. 7.33). Число i определяет

число узловых окружностей, на которых некоторые составляющие поля становятся равными нулю (рис. 7.34). Самая низкая частота Рис. 7.32. волн Е соответствует группе из

трех чисел (О, О, 1). Самая низкая частота волн Н соответствует группе (1, 1, 1). Например, при г==3 для поперечной магнитной волны составляющие Е, Е, становятся равными нулю на уто.11щенных окружностях рис. 7.34, а, а составляющие Е, становятся равными нулю на утолщенных окружностях рис. 7.34, б.

Ко всем указанным периодичностям прибавляется еще периодичность во времени, происходящая от множителя еК




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [ 131 ] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251