Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 [ 133 ] 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

На самом деле ничего подобного нет, так как решение

р р

здесь годится, поскольку ось Oz находится вне области распространения.

Решение R{p)-Ар -{-Bp по-прежнему не годится для волн Н. Действительно, невозможно найти значения для А, В, п, которые приравняли бы нулю составляющие и Е при р = /?, или R.

Итак, мы имеем решение, не существовавшее в случае пустого цилиндра:

£=£ = Я, = Яр = 0,

Это решение может иметь произвольную частоту. Следовательно, для коаксиального проводника предельной частоты нет.

7.6.44. Скин-эффект переменных токов, проходящих по цилиндрическому проводнику круглого сечения. Дан бесконечный проводящий

цилиндрический провод круглого сечения.


Рис. 7.36.

по которому течет переменный электрический ток (рис. 7.36). Пусть а будет плотность тока в точке, находящейся на расстоянии X от оси провода. Эта плотность будет функцией х и она одинакова для всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от оси. Рассмотрим цилиндрическую оболочку толщи-

ной dx и радиусом х. Сила тока, проходящего через оболочку, равна

dl - 2ках dx.

Магнитное поле, вызванное этим током, в точке Р, находящейся на расстоянии г от оси (г > х), равно

2izr г

Магнитное поле, вызванное всеми линиями тока, расположенными в точках X -г, будет

ах dx.

Это выражение, продифференцированное по г, дает

1 г

= 0 - 72 J axdxa---,

dH dr

что можно записать в виде

Я -а = 0.

Если через р обозначить удельное сопротивление вещества, из которого состоит провод, то электродвижущая сила, приложенная к линии тока АВ, будет

Е=ра1,



dt (X dr Продифференцируем по t уравнение

dr г

Получаем

1 1

дН -

drdt

1 г

(Л дг

р. Й/-

= 0.

Если предположить, что ток синусоидален, а частота его равна со, то = уша. 14 дифференциальное уравнение дли а получит вид

d Q . 1 da

dr г dr р

Положив

получим уравнение

asp.

do , 1 dc

d/- г dr общее решение которого равно

GAUkrfh) + BK,ikrfh).

Плотность а при р==0 имеет конечное значение, поэтому постоянная интегрирования В должна быть принята равной нулю. Отсюда

а = ЛУо (lir fh) х= AMq (/гг) £0(1-).

Пусть а - радиус провода, а - плотность тока на его поверхности. Она определяет значение коэффициента А. Можно написать

Приняв фазовый угол на поверхности провода за начало отсчета фаз, получим

.....- Wi *-

где / - расстояние между точками А к В. Электродвижущая сила вдоль линии тока DC на расстоянии r-\-dr от оси будет

В плоском контуре ABCD электродвижущая сила равна dE. Она равна электродвижущей силе, наведенной полем Н. Поэтому можно написать

dE-plda=[L / dr,

иначе говоря,

dH р dc



Если kr велико, фазовый угол может быть намного больше 2Tt. Следовательно, внутри провода могут существовать области, в которых токи имеют противоположное направление. Величина аоМо{кг)1Мо{ка) - это значение

амплитуды плотности тока на расстоянии г от оси.

Рис. 7.37 дает представление о плотности тока как функции расстояния от оси для цилиндрического медного провода радиусом в 1 мм

при частотах 20 ООО и 200 ООО гц = 5,8 -10

,л = Хо=47г- 10 ).

7.5.46. Спектр волны, модулированной по частоте. Выражение для синусоидальной волны, модулированной по частоте, будет

ff.oooe

Mnet

a(t) = Usm

Расстояние от оси, лш Рис. 7.37.

где и - постоянная, qq - также постоянная, называемая центральной круговой частотой; член Ра(г) - производная фазы, вызванной низкочастотным сигналом а (г;).

Если считать величину a{t) безразмерной, а ее наибольшее значение равным единице, что всегда возможно, то величина будет обозначать наибольшее отклонение круговой частоты и будет зависеть только от амплитуды низкочастотного сигнала, а не от закона его изменения, целиком представленного функцией а().

Если модуляция наложена синусоидальным низкочастотным сигналом с круговой частотой а, то

а {f) = cos а.

В этом случае мы получим для волны, модулированной по частоте сигналом, выражение

M(0=t/sinrSo+--sina .

Безразмерное выражение ? = - называется индексом модуляции. Оно

вводит в рассмотрение две величины: а, характеризующую частоту модуляции, и j3, характеризующую амплитуду модуляции или, скорее, отклонение частоты. При первом взгляде на механизм модуляции частоты, описанный выше, может показаться, что поскольку круговая частота изменяется от - р до оН~Р> то должна существовать очень узкая полоса частот, равная всего 28

-jT- . Если бы это было так, то модуляция частоты открыла бы почти без-

граничные возможности для сосредоточивания работы передатчиков в очень узкой полосе частот. Действительно, из всех физических измерений, которые сейчас умеют осуществлять, самое точное - это измерение частоты. Поэтому было бы очень легко выявлять модуляцию частоты, в которой

отклонение частоты очень мало - порядка 10~ от центральной частоты Волна в 10 Мгц занимала бы тогда полосу всего в 20 гц. К сожале-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 [ 133 ] 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251