Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу На самом деле ничего подобного нет, так как решение р р здесь годится, поскольку ось Oz находится вне области распространения. Решение R{p)-Ар -{-Bp по-прежнему не годится для волн Н. Действительно, невозможно найти значения для А, В, п, которые приравняли бы нулю составляющие и Е при р = /?, или R. Итак, мы имеем решение, не существовавшее в случае пустого цилиндра: £=£ = Я, = Яр = 0, Это решение может иметь произвольную частоту. Следовательно, для коаксиального проводника предельной частоты нет. 7.6.44. Скин-эффект переменных токов, проходящих по цилиндрическому проводнику круглого сечения. Дан бесконечный проводящий цилиндрический провод круглого сечения. Рис. 7.36. по которому течет переменный электрический ток (рис. 7.36). Пусть а будет плотность тока в точке, находящейся на расстоянии X от оси провода. Эта плотность будет функцией х и она одинакова для всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от оси. Рассмотрим цилиндрическую оболочку толщи- ной dx и радиусом х. Сила тока, проходящего через оболочку, равна dl - 2ках dx. Магнитное поле, вызванное этим током, в точке Р, находящейся на расстоянии г от оси (г > х), равно 2izr г Магнитное поле, вызванное всеми линиями тока, расположенными в точках X -г, будет ах dx. Это выражение, продифференцированное по г, дает 1 г = 0 - 72 J axdxa---, dH dr что можно записать в виде Я -а = 0. Если через р обозначить удельное сопротивление вещества, из которого состоит провод, то электродвижущая сила, приложенная к линии тока АВ, будет Е=ра1, dt (X dr Продифференцируем по t уравнение dr г Получаем
= 0. Если предположить, что ток синусоидален, а частота его равна со, то = уша. 14 дифференциальное уравнение дли а получит вид d Q . 1 da dr г dr р Положив получим уравнение asp. do , 1 dc d/- г dr общее решение которого равно GAUkrfh) + BK,ikrfh). Плотность а при р==0 имеет конечное значение, поэтому постоянная интегрирования В должна быть принята равной нулю. Отсюда а = ЛУо (lir fh) х= AMq (/гг) £0(1-). Пусть а - радиус провода, а - плотность тока на его поверхности. Она определяет значение коэффициента А. Можно написать Приняв фазовый угол на поверхности провода за начало отсчета фаз, получим .....- Wi *- где / - расстояние между точками А к В. Электродвижущая сила вдоль линии тока DC на расстоянии r-\-dr от оси будет В плоском контуре ABCD электродвижущая сила равна dE. Она равна электродвижущей силе, наведенной полем Н. Поэтому можно написать dE-plda=[L / dr, иначе говоря, dH р dc Если kr велико, фазовый угол может быть намного больше 2Tt. Следовательно, внутри провода могут существовать области, в которых токи имеют противоположное направление. Величина аоМо{кг)1Мо{ка) - это значение амплитуды плотности тока на расстоянии г от оси. Рис. 7.37 дает представление о плотности тока как функции расстояния от оси для цилиндрического медного провода радиусом в 1 мм при частотах 20 ООО и 200 ООО гц = 5,8 -10 ,л = Хо=47г- 10 ). 7.5.46. Спектр волны, модулированной по частоте. Выражение для синусоидальной волны, модулированной по частоте, будет ff.oooe
a(t) = Usm Расстояние от оси, лш Рис. 7.37. где и - постоянная, qq - также постоянная, называемая центральной круговой частотой; член Ра(г) - производная фазы, вызванной низкочастотным сигналом а (г;). Если считать величину a{t) безразмерной, а ее наибольшее значение равным единице, что всегда возможно, то величина будет обозначать наибольшее отклонение круговой частоты и будет зависеть только от амплитуды низкочастотного сигнала, а не от закона его изменения, целиком представленного функцией а(). Если модуляция наложена синусоидальным низкочастотным сигналом с круговой частотой а, то а {f) = cos а. В этом случае мы получим для волны, модулированной по частоте сигналом, выражение M(0=t/sinrSo+--sina . Безразмерное выражение ? = - называется индексом модуляции. Оно вводит в рассмотрение две величины: а, характеризующую частоту модуляции, и j3, характеризующую амплитуду модуляции или, скорее, отклонение частоты. При первом взгляде на механизм модуляции частоты, описанный выше, может показаться, что поскольку круговая частота изменяется от - р до оН~Р> то должна существовать очень узкая полоса частот, равная всего 28 -jT- . Если бы это было так, то модуляция частоты открыла бы почти без- граничные возможности для сосредоточивания работы передатчиков в очень узкой полосе частот. Действительно, из всех физических измерений, которые сейчас умеют осуществлять, самое точное - это измерение частоты. Поэтому было бы очень легко выявлять модуляцию частоты, в которой отклонение частоты очень мало - порядка 10~ от центральной частоты Волна в 10 Мгц занимала бы тогда полосу всего в 20 гц. К сожале-
|