нию, предыдущее рассуждение весьма неточно. Действительно, рассмотрим выражение для волны, модулированной по частоте:

u(t)=UswlQct-\~smat .

Используя формулу для синуса суммы двух углов, находим

u{t)=U sinQt cosismat --cos О, sin sin

Применяя формулы (53) и (54), дающие разложение в ряд cos (г sin 6) и sin {z sin 6), получаем

a{t)=U {Jq (?) sin Qt + J, (0 2 sin a.t cos Qt + (?) 2 cos Ш sin Qt -\-

+ Уз (?) 2 sin bat cos + ... J.

Эта формула показывает, что векторное представление комплексной волны содержит векторы модуляции, соответствующие частотам а, 2а, За, .. ., -

одни в фазе, другие сдвинутые по фазе на по отношению к несущей волне.

Используя формулу (22), простым преобразованием произведения тригоно-.метрических функций получаем

-hoo

u(t)=U S y ()sin(Qo + a)L

11= -со

Из последней формулы вытекает, что спектр амплитуд - это линейчатый спектр,-частоты которого равны

QQ - na, .... QQ~2a, Qq - а, S, Qo-\-a. 2д4-2а, .... Q,-\-na.. ...

a амплитуды пропорциональны

--. / (S).....Л(0. л(0. (0. л©. лJn(?). -

Следовательно, при чисто синусоидальной модуляции спектр амплитуд составляющих колебаний симметричен и теоретически не ограничен. Фактически его можно считать ограниченным из-за свойства бесселевой функции становиться пренебрежимо малой, когда ее индекс п становится значительно больше ар1умента z.

Можно легко оценить практическую полуширину спектра, подсчитав по таблицам пп. 7.5.47 и 7.5.48 для малых значений ? и по рис. 7.17 для больших значений ? величину п. начиная с которой амплитуды будут меньше 0,001 или 0,005 и могут, таким образом, считаться пренебрежимо малыми. Если это значение п обозначим через N. то практическая ширина спектра будет

или, если обозначить через / частоту модуляции,

2/Л/.

Можно также задаться вопросом, каково значение индекса модуляции, ниже которого спектр практически сводится к несущей частоте и двум первым боковым линиям. Для этого нужно ? взять таким, чтобы 2(0 было пренебрежимо мало, например меньше 0,005. Рассмотрев значения функции УгС)-, мы видим, что это имеет место при Е < 0,2. Значит только при значениях индекса модуляции, существенно меньших единицы, компактность по частоте при частотной модуляции оказывается практически такой же, как при амплитудной модуляции!).

) Здесь речь идет только о волне, модулированной по частоте чисто синусоидальным сигналом- В случае телеграфной модуляции решение существенно усложняется из-за переходных явлений.

Следует заметить, что по своему строению такой сокращенный спектр, несмотря на внешнее сходство, отличен от спектра при амплитудной модуляции, так как между частотой боковых линий и несущей частотой имеется

сдвиг по фазе ~.

/индекс модулщии

67 57

32 J

13 ,

33 26 33-1

Ззб 40 363

73 S

.3336

в. Т\

36 39

2435 27 2у, 3538

34 36

11X0

30 30 30

76 75 1 i

3534

18 23 у, 23 3228

f70\77fl7f77

1220\21

23 гз 25 , 24 25 Z2 23 27

1 I г i /7 I I 4 I П f U i

Рис. 7.38.

Для некоторых значений индекса модуляции может иметь место исчезновение несущей частоты или линий, правильно расположенных относительно этой частоты. Линии - ая. и йц + ая. исчезают? если % является корнем J (y = 0. Эти корни даны в таблице п. 7.5.49. В частности, несущая частота 1счезает при

?=2,40; 5,52; 8,65; 11,79; ...

- корнях функции Jo() = 0. Это свойство очень ценно при некоторых измерениях.

Рис. 7.38 показывает, как возрастает сложность спектра волны, модулированной по частоте, если увеличивать индекс модуляции. Цифры у вертикальных черточек характеризуют величину амплитуд различных гармоник.

Модуляция по нескольким частотам. Мы уже видели, что спектр амплитуд волны, модулированной по частоте чисто синусоидальным сигналом, всегда симметричен по отношению к несущей частоте. Однако это не так, если модуляция наложена суммой некоторого числа синусоидальных функций, когда между соответствующими круговыми частотами существуют простые линейные соотношения.

Рассмотрим сигнал модуляции

ро (/) = Рсс, cos (U)i/ -I- !pi) -h cos (Wg/ -h (рз) + ..

Члены , ~- будут частными индексами модуляции gj, Sg. - Функция и (i) в комплексном обозначении будет иметь вид

и (/) = Ueioei iit+fOeJ (°>2<+92) ...

Формула eJ sm е (z) eJ позволяет записать и (/) в виде

uit)u 2 е/ (=о+ >< .+ ...)+ ,.....

Это выражение делает очевидным присутствие в сигнале круговых частот

с амплитудами, пропорциональными

Л,(Е1)4Д&)Л,аз)---

Для противоположных по знаку значений п п, . произведение .под знаком суммы будет, с точностью до знака, иметь одно и то же значение. Амплитуды будут равны; следовательно, спектр симметричен.

Иначе обстоит дело в часто встречающемся случае, когда модулирующий сигнал вместо того, чтобы содержать синусоидальные функции с несоизмеримыми круговыми частотами, содержит две или несколько синусоидальных функций, круговые частоты которых находятся в простом соотношении. В частности, это будет в случае модуляции периодическим сигналом, разложенным в ряд Фурье.

Например, если между круговыми частотами о), и чи имеется соотношение

мы получим одну и ту же частоту, иначе говоря, одну и ту же линию

для значений п,= \, 2 = 3 и для значений п, - Ъ. п - . Результирующая амплитуда будет иметь вид

Л(51)-/з(У +(УЛСУ-Значения, противоположные по знаку предыдущим, т. е. п, - -1, 2=-3, и 1 = - 3, - -2, приведут к частоте, симметричной ранее полученной по отношению к несущей частоте. Но результирующая амплитуда в этом случае будет

Л(?1)Л(У--4 1)-/2(У-

Это выражение не равно предыдущему, так как суммы индексов обоих произведений разной четности (см. формулу (22)). Спектр в этом случае не будет симметричен.