Замечание, во и О, выражены в градусах.

Продолжение

7.6.1. Введение. Мы уже встречали (пп. 6.3.8 и 6.3.11) следующие дифференциальные уравнения:

1 , г , , ,х т-

йЬ ~ tg 6 йЬ d-R , 1

thS dl

/г(/г+1) +

d3 , ... d

/г(/г+1) -

Заменой переменных 2 = cos б, 2 = ch?, 2; = 7sh£, гзшф эти уравнения сводятся к виду

--5~2.-g+[n( +l)-J/=0

или, в более общей форме.

d dz

+ v(v4-l)-.j/=.0.

где постоянные v и [д. могут быть отличны от целого числа. При fi = О дифференциальное уравнение (98) сведется к

(l-2)J 22-g + .(v-bl)/ = 0.

(97)

(98)

(99)

Это дифференциальное уравнение Лежандра. Его решения называются функциями Лежандра (сферическими функциями Лежандра). Рещения более общего уравнения (98) называются присоединенными функциями Лежандра (присоединенными сферическими функциями). Рассмотрим сначала сферические функции Лежандра.

Замечание. Если-рещение уравнения (98), то функции f~,

также являются его решениями. Если Д -решение (99), то -

такн<е его решение. Это замечание позволяет уменьшить диапазон изменения параметров.

7.6.2. Разложения в степенные ряды. Попробуем найти решение уравнения (99) в виде обобщенного степенного ряда по возрастающим степеням переменной z:

/(2) 2 a,z\ .

Подставим этот ряд в (99) и приравняем нулю коэффициенты при различных степенях z. Так как X неотрицательно, то наименьший показатель степени z равен k - 2. Имеем

ао(&-1) = 0, ai&(&H-l) = 0, (100)

(fe + A)(fe + A+l)-v(+l)

+2- (й + х+1)(й + х+2)

Пусть & = 0. Тогда коэффициенты и а, становятся произвольными и (у-Х)(у + Х+1) , ---(X-f I)(X-f 2)~

7.6. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА

Отсюда

у -2.) (. -2Х + 2) + 1) (у + 3) .. (у + 2Х -1) 2х ... I ,

+ .,{1 ,(У-1И + 2) ,<у-1)(-ЗИу + 2)(у + 4)

+ ( 1)х(у-1)(-+ ... }.(102)

Перепишем разложения (101) и (102), используя обозначения для гипергеометрических рядов (см. пример п. 6.2.10). Тогда обшее решение уравнения (99) примет вид

Отношение двух последовательных членов каждого из рядов (101) и (1-02) равно

Выражение, связывающее a+g а, показывает, что отношение при

бесконечно возрастающем X стремится к единице. Значит, ряды (101) и (102) сходятся в интервале (-1, -f-l) и дают в нем решения уравнения (99). Этот интервал особенно важен, так как часто переменная z представляет косинус полюсного углового расстояния между точками в сферических координатах:

Z = COS е.

Вернемся к соотношениям (100). Они удовлетворяются также при k=l, а, = 0 (йд произвольно) и k - - 1, 0 = 0 (а, произвольно). Легко заметить, что эти условия приводят к разложениям, полученным выше.

Попробуем теперь представить решение дифференциального уравнения (99) с помощью разложения в ряд по убывающим степеням переменной. Подставим для этого в (99) ряд

и приравняем нулю коэффициенты при различных степенях z. Учитывая, что наивысший показатель степени z равен k, получаем

йо(& -v)(&+y-l-l) = 0, Й,(А -V-1)(А + у) = 0,

Й(& -X -у)(& -XH-v+1) = V2( - + 2)(й ->+1). >2.

Возьмем k = y, b, = 0 и произвольное Ь. Получаем ряд

f(z -bzh (~> I у(у-1)(у~2)(у-3) )

j{Z) - DoZi 2(2у-1) 2.4-(2у -l)(2v -3) -

= ftoF(-,-i,l-v; -2). (103)

Возьмем k = - V - 1, ftj = 0 и произвольное Ь. Получаем ряд

л Ь I (у+1)( + 2) , (. + 1)(. + 2)(у + 3)(у + 4) 1

f(Z)-OoZ 2(2у + 3) 2.4(2у + 3)(2у + 5)

= V-!F(-..- + y; -). (104)