Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу Ряды (103) и (104) определяют частные решения (99), сходящиеся при \z\> 1. 7.6.3. Полиномы Лежандра. Если параметр v равен целому неотрицательному числу п, то все коэффициенты одного из рядов (101) или (102), начиная с определенного номера, будут равны нулю и, значит, этот ряд сведется к полиному. Если п четное число, то ряд (101) оборвется на члене и-й степени; если же п - нечетное число, то ряд (102) оборвется на члене (п-1)-й степени. Если положить :(-1) :т 1-з-5...(п-1) 2-4.6...и /2-1 (-1) 1-3-5... п 2 4. 6 ... (и - 1) то при z~l оба полинома будут принимать значения, равные единице. Полученные таким образом полиномы называются полиномами Лежандра Pn(z). Расположенные по возрастающим степеням z, они имеют вид (и - любое): р 1-3-5...(2п-1) ( п(п-1) n(z)- z 2(2и-1) n(n-l)( -2)(n-3) Y 2-4-(2и-1)(2и -3) ...j-. (105) 7.6.4. Производящая функция полиномов Лежандра. Пусть А и М - две точки, расположенные соответственно на расстоянии г и г от начала координат О (рис. 7.40). Расстояние AM равно (/-2-2/-/-cose-f/-2)/% т. е. AM = г (Й2 2h cos 6 + 1)/ AMr {h? - 2h cos 6 H- l)/ где через h обозначается отношение - при г г г и отнощение - при г< г. Следовательно, величина Л в обоих случаях меньще единицы. Ньютоновский потенциал в точке А, находящейся на расстоянии г от начала координат, вызванный единичной массой, помещенной в точку М на расстоянии г от начала координат, выражается формулой 1 , . (1-2/гсо5е + /г2) 2, -p-i\-2h созе-+й2) при г < г. h = -p- при г>Л Разложим (1-2/г cos 6-j-й2) 2 g рд возрастающим степеням h. Тогда коэффициент при Л дается разложением (105), в котором z заменено на cose, т. е. (1 - 2/г cos е-+й2)-А Pp(cos е)+ Pj (cos 6)+ ... +/г Я (соз 6)+ ... (106) Это выражение оправдывает название коэффициентов Лежандра, данное полиномам P(cos6). Итак, коэффициенты Лежандра входят в распределение ньютоновских потенциалов на шаре (п. 7.6.26). Они входят также в выражение для потенциала электрического диполя. В самом деле, пусть даны два электриче- ских заряда, равных по величине и противоположных по знаку, отстоящих друг от друга на расстоянии 2г. Потенциал в точке М (рис. 7.41) равен, [am ~~ вж) Эта формула, согласно предыдущему расчету, может быть написана в виде h P (cos 6) - h P (- cos 6) Ln=0 n=0 Предположим сначала, что г у г; тогда h- - . Так как Р (лг) в соответствии со своим индексом - функция четная или. нечетная, то потенциал в окончательном виде равен Для перехода к случаю / </ достаточно в полученной формуле заменить г на г, обозначив через h отношение f-iy). Функция (1 - 2hz -\- называется О Afr0 Рис. 7.41. производящей функцией полиномов Лежандра. С помощью разложения в ряд Тейлора по г при г учитывая, что г = 0 am dz И полагая г - {х ~{-у ~\-z), находим {(-/02 + х2 + у2}- (-1) г 1 д п\ dz и. сравнив с выражением (106). получаем P ()=(-l) -iг Иногда может оказаться удобным разложить Р (cos 6) по косинусам углов, кратных 6. Для этого запишем производящую функцию в виде (1 -ЛеЛ) 2(1 /ге-ч) 2. Биномиальные ряды для обоих двучленов абсолютно сходятся. Поэтому искомое разложение можно получить непосредственным перемножением бино-.миальных рядов. Вычисления дают .p (cose)2 -tV-e... 27М°~ 1-(2 -1) cos(-2)6+ - +TT2!(2!z-W-?) сов(я-4)6-+ . . (107) Р а+6со8ч> Уа - Ь В этой формуле положим a=l-hz, b= + hYz-l. предполагая h таким, что \h{z±Yz - lcos<f)<l. Разложим обе части полученного тождества по возрастающим степеням h, используя разложение (106) (считаем здесь, что \z\ < 1). Приравняв в обеих частях тождества коэффициенты при h , получим формулу Лапласа p()=iy ± AFcoscp) d<p. (108) 7.6.5. Примеры полиномов Лежандра. Если в выражениях (105) и (107) последовательно приравнять п = 0, 1, 2.....7, то найдем: Po(z)=i. PAz)=(3z-l). Piz) = (5z-Zz), (г) = 1 (З5.г4 302 P(z) = (63z - 70z+15z). Рб(.г)=(231.гб 3154 10522 - 5), (Z) = (4292 - 6935 + 315z - 35), Po(cose)=l, Pj (cos 6) = cos 6, P2 (cos 6) = (3 cos 26 + 1), Р3 (cos 6) =(5 cos 36 4-3 cos 6), P4 (cos 6) = -(35 cos 46 + 20 cos 26 + 9), Pg (cos 6) = (63 cos 56 + 35 cos 36 4-30 cos 6), Pg(cos 6)=-gJ2-(231 cos 66+ 126cos46+ 105 cos26+ 50), Pj (cos 6) = ~ (429 cos 76 + 231 cos 56 + 189 cos 36 + 175 cos 6). 7.6.6. Представление полиномов Лежандра через определенный интеграл. Формула Лапласа. Рассмотрим интеграл
|