Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 [ 139 ] 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

Ряды (103) и (104) определяют частные решения (99), сходящиеся при \z\> 1.

7.6.3. Полиномы Лежандра. Если параметр v равен целому неотрицательному числу п, то все коэффициенты одного из рядов (101) или (102), начиная с определенного номера, будут равны нулю и, значит, этот ряд сведется к полиному. Если п четное число, то ряд (101) оборвется на члене и-й степени; если же п - нечетное число, то ряд (102) оборвется на члене (п-1)-й степени. Если положить

:(-1)

:т 1-з-5...(п-1)

2-4.6...и

/2-1

(-1)

1-3-5... п 2 4. 6 ... (и - 1)

то при z~l оба полинома будут принимать значения, равные единице.

Полученные таким образом полиномы называются полиномами Лежандра Pn(z). Расположенные по возрастающим степеням z, они имеют вид (и - любое):

р 1-3-5...(2п-1) ( п(п-1) n(z)- z 2(2и-1)

n(n-l)( -2)(n-3) Y

2-4-(2и-1)(2и -3) ...j-.

(105)

7.6.4. Производящая функция полиномов Лежандра. Пусть А и М - две точки, расположенные соответственно на расстоянии г и г от начала

координат О (рис. 7.40). Расстояние AM равно (/-2-2/-/-cose-f/-2)/% т. е.


AM = г (Й2 2h cos 6 + 1)/ AMr {h? - 2h cos 6 H- l)/

где через h обозначается отношение - при г г г

и отнощение - при г< г. Следовательно, величина Л

в обоих случаях меньще единицы. Ньютоновский потенциал в точке А, находящейся на расстоянии г от начала координат, вызванный единичной массой, помещенной в точку М на расстоянии г от начала координат, выражается формулой

1 , .

(1-2/гсо5е + /г2) 2,

-p-i\-2h созе-+й2)

при г < г.

h = -p- при г>Л

Разложим (1-2/г cos 6-j-й2) 2 g рд возрастающим степеням h. Тогда коэффициент при Л дается разложением (105), в котором z заменено на cose, т. е.

(1 - 2/г cos е-+й2)-А Pp(cos е)+ Pj (cos 6)+ ... +/г Я (соз 6)+ ... (106)

Это выражение оправдывает название коэффициентов Лежандра, данное полиномам P(cos6).

Итак, коэффициенты Лежандра входят в распределение ньютоновских потенциалов на шаре (п. 7.6.26). Они входят также в выражение для потенциала электрического диполя. В самом деле, пусть даны два электриче-



ских заряда, равных по величине и противоположных по знаку, отстоящих друг от друга на расстоянии 2г. Потенциал в точке М (рис. 7.41) равен,

[am ~~ вж)

Эта формула, согласно предыдущему расчету, может быть написана в виде

h P (cos 6) - h P (- cos 6)

Ln=0 n=0

Предположим сначала, что г у г; тогда h- - . Так как Р (лг) в соответствии со своим индексом - функция четная или. нечетная, то потенциал в окончательном виде равен

Для перехода к случаю / </ достаточно в полученной формуле заменить г

на г, обозначив через h отношение f-iy).

Функция (1 - 2hz -\- называется


О Afr0

Рис. 7.41.

производящей функцией полиномов Лежандра.

С помощью разложения в ряд Тейлора по г при г учитывая, что

г = 0

am dz

И полагая г - {х ~{-у ~\-z), находим

{(-/02 + х2 + у2}-

(-1) г

1 д

п\ dz

и. сравнив с выражением (106). получаем

P ()=(-l) -iг

Иногда может оказаться удобным разложить Р (cos 6) по косинусам углов, кратных 6. Для этого запишем производящую функцию в виде

(1 -ЛеЛ) 2(1 /ге-ч) 2.

Биномиальные ряды для обоих двучленов абсолютно сходятся. Поэтому искомое разложение можно получить непосредственным перемножением бино-.миальных рядов. Вычисления дают

.p (cose)2 -tV-e... 27М°~ 1-(2 -1) cos(-2)6+ -

+TT2!(2!z-W-?) сов(я-4)6-+ . . (107)



Р а+6со8ч> Уа - Ь

В этой формуле положим

a=l-hz, b= + hYz-l.

предполагая h таким, что \h{z±Yz - lcos<f)<l. Разложим обе части полученного тождества по возрастающим степеням h, используя разложение (106) (считаем здесь, что \z\ < 1). Приравняв в обеих частях тождества коэффициенты при h , получим формулу Лапласа

p()=iy ± AFcoscp) d<p. (108)

7.6.5. Примеры полиномов Лежандра. Если в выражениях (105) и (107) последовательно приравнять п = 0, 1, 2.....7, то найдем:

Po(z)=i.

PAz)=(3z-l).

Piz) = (5z-Zz), (г) = 1 (З5.г4 302

P(z) = (63z - 70z+15z). Рб(.г)=(231.гб 3154 10522 - 5),

(Z) = (4292 - 6935 + 315z - 35),

Po(cose)=l, Pj (cos 6) = cos 6,

P2 (cos 6) = (3 cos 26 + 1),

Р3 (cos 6) =(5 cos 36 4-3 cos 6),

P4 (cos 6) = -(35 cos 46 + 20 cos 26 + 9),

Pg (cos 6) = (63 cos 56 + 35 cos 36 4-30 cos 6),

Pg(cos 6)=-gJ2-(231 cos 66+ 126cos46+ 105 cos26+ 50),

Pj (cos 6) = ~ (429 cos 76 + 231 cos 56 + 189 cos 36 + 175 cos 6).

7.6.6. Представление полиномов Лежандра через определенный интеграл. Формула Лапласа. Рассмотрим интеграл



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 [ 139 ] 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251