Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу Вычислим сумму вычетов относительно z == п {п ф 0). Имеем *) 271 л/ Сгруппируем попарно в последней формуле члены, содержащие е J ~2nn]t с членами, содержащими -ще . Имеем 1-ant R Z, n 2imj n=-CO n=l Если учесть вычет относительно начала координат, то находим 2ttnt 2 Л я ii=\ Пример 3. Вычислить интеграл c+jco c-jco ezl- dz 22 + 0)2 Особенностями функции Ф(z) =-j-p являются два полюса z- и точка разветвления z - 0. Рассмотрим разрез вдоль отрицательной части действительной оси и обозначим соответствующий ему шнур через Г (см. рис. 1.31). Так как функция Ф(г) удовлетворяет условиям леммы Жордана, то интеграл по контуру Бромвича равен интегралу по шнуру Г (направление обхода указано стрелками) плюс сумма вычетов относительно полюсов z = ±усо; Ь Иг Ь где 7i - окружность с центром О и бесконечно малым радиусом, - путь, проходимый по верхнему берегу разреза, 73 - путь, проходимый по нижнему берегу разреза. 1- Вычислим вычеты относительно особых точек. Вычет относительно z=-\- усо равен 2/(й Вычет относительно z - - уш равен 2/]А со 2у]Ао> *) .2 означает, что суммирование идет для./г ф 0. 60 функции комплексной переменной [гл. I Сумма вычетов дает 2. Для точек окружности радиуса р с цеКтром О имеем z = pe. Так как Izl- , то 3. На верхнем берегу разреза у, О На нижнем берегу разреза Следовательно, и, наконец. , 1 f , 1 / exl . Характерные примеры интегрирования на комплексной плоскости даны в пп. 8.3.23 и 8.4.18. 1.3.20. Теорема о числе полюсов и числе нулей. Пусть функция / (г) голоморфна внутри замкнутбго контура С, ва исключением конечного числа полюсов, непрерывна и не обращается в нуль на С. Обозначим через N н Р соответственно количество нулей и полюсов / (г) внутри контура С, причем каждый нуль и каждый полюс считается столько раз, какова его кратность. Тогда произведение разности N - Р на 2t:J равно интегралу от логарифмической производной f(z) по контуру С при обходе его в положительном направлении. Действительно, пусть а - нуль порядка а. В окрестности точки а имеем далее, /(г) z~a Если С, - малый контур, окружающий точку а, то Ч J f{z) Из доказанного следует, что для функции f{z), имеющей в области, ограниченной контуром С, нули а ..., а порядков а, , а и полюса .....Ь порядков Pj, р , справедливо соотношение т. е. fdz=2.JiN~P). с Теорема доказана. Рассмотрим преобразование Z = /(2). Если точка 2 описывает контур С в плоскости г, то точка Z описывает контур Г в плоскости Z. Имеем / W W >С 2 II + /1)1г = arctg Этот интеграл равен числу Т оборотов, которые описывает кривая Г вокруг начала координат. По доказанному, T = N~P. Применение теоремы о вычетах к вычислению некоторых определенных интегралов 1,3.21. Интегралы вида J/(cos6, sin6)rf6 (/-рациональная функ- ция cos 6 и sin 6, конечная внутри промежутка интегрирования). Положим eJ - Z. Имеем cose = l(2+i-). sine = i(2-). Интеграл получает вид J (р (г) dz, где С - окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Этот интеграл равен 2иуТ, если через L Точно так же, если b - полюс порядка р, то в окрестности точки b имеем /(-г) = у. ср(6)¥=0. (г - by Функция (р (z) голоморфна в окрестности Ь. Поэтому вблизи b можно написать £М = Р I у(г) /(г) г-6~Т~ Если - малый контур, окружающий Ь, то
|