Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

Вычислим сумму вычетов относительно z == п {п ф 0). Имеем *)

271 л/

Сгруппируем попарно в последней формуле члены, содержащие е

J ~2nn]t

с членами, содержащими -ще . Имеем

1-ant

R Z, n

2imj

n=-CO n=l

Если учесть вычет относительно начала координат, то находим

2ttnt

2 Л я

ii=\

Пример 3. Вычислить интеграл

c+jco

c-jco

ezl- dz

22 + 0)2

Особенностями функции Ф(z) =-j-p являются два полюса z-

и точка разветвления z - 0.

Рассмотрим разрез вдоль отрицательной части действительной оси и обозначим соответствующий ему шнур через Г (см. рис. 1.31). Так как функция Ф(г) удовлетворяет условиям леммы Жордана, то интеграл по контуру Бромвича равен интегралу по шнуру Г (направление обхода указано стрелками) плюс сумма вычетов относительно полюсов z = ±усо;

Ь Иг Ь

где 7i - окружность с центром О и бесконечно малым радиусом, - путь, проходимый по верхнему берегу разреза, 73 - путь, проходимый по нижнему берегу разреза.

1- Вычислим вычеты относительно особых точек. Вычет относительно z=-\- усо равен

2/(й

Вычет относительно z - - уш равен

2/]А со

2у]Ао>

*) .2 означает, что суммирование идет для./г ф 0.



60 функции комплексной переменной [гл. I

Сумма вычетов дает

2. Для точек окружности радиуса р с цеКтром О имеем z = pe. Так как Izl- , то

3. На верхнем берегу разреза

у, О

На нижнем берегу разреза

Следовательно,

и, наконец.

, 1 f , 1 / exl .

Характерные примеры интегрирования на комплексной плоскости даны в пп. 8.3.23 и 8.4.18.

1.3.20. Теорема о числе полюсов и числе нулей. Пусть функция / (г) голоморфна внутри замкнутбго контура С, ва исключением конечного числа полюсов, непрерывна и не обращается в нуль на С. Обозначим через N н Р соответственно количество нулей и полюсов / (г) внутри контура С, причем каждый нуль и каждый полюс считается столько раз, какова его кратность. Тогда произведение разности N - Р на 2t:J равно интегралу от логарифмической производной f(z) по контуру С при обходе его в положительном направлении.

Действительно, пусть а - нуль порядка а. В окрестности точки а имеем

далее,

/(г) z~a

Если С, - малый контур, окружающий точку а, то

Ч J f{z)



Из доказанного следует, что для функции f{z), имеющей в области,

ограниченной контуром С, нули а ..., а порядков а, , а и полюса

.....Ь порядков Pj, р , справедливо соотношение

т. е.

fdz=2.JiN~P). с

Теорема доказана.

Рассмотрим преобразование

Z = /(2).

Если точка 2 описывает контур С в плоскости г, то точка Z описывает контур Г в плоскости Z. Имеем

/ W W >С 2 II + /1)1г =

arctg

Этот интеграл равен числу Т оборотов, которые описывает кривая Г вокруг начала координат. По доказанному,

T = N~P.

Применение теоремы о вычетах к вычислению некоторых определенных интегралов

1,3.21. Интегралы вида J/(cos6, sin6)rf6 (/-рациональная функ-

ция cos 6 и sin 6, конечная внутри промежутка интегрирования). Положим eJ - Z. Имеем

cose = l(2+i-). sine = i(2-).

Интеграл получает вид J (р (г) dz, где С - окружность единичного радиуса

с центром в начале координат. Этот интеграл равен 2иуТ, если через L

Точно так же, если b - полюс порядка р, то в окрестности точки b имеем

/(-г) = у. ср(6)¥=0. (г - by

Функция (р (z) голоморфна в окрестности Ь. Поэтому вблизи b можно написать

£М = Р I у(г)

/(г) г-6~Т~

Если - малый контур, окружающий Ь, то



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251